Дослідження асимптот та побудова графіків дробно-раціональних функцій - Научная работа

Лікар, який досліджує хворого, може по кардіограмі судити про порушення серцевої діяльності; вивчення кардіограми допомагає правильно поставити діагноз захворювання. Всі ці люди вивчають деякі функції за їх графіками. І мене зацікавили функції та характер залежності і ступінь визначеності звязку між величинами, що розглядаються. Раціональні функції - це функції, які можна представити у вигляді частки двох многочленів. Виходячи з цього, предметом дослідження стало дослідження властивостей асимптот раціональних функцій та побудови їх графіків, засновані на аналізі поведінки функції щодо асимптот, в ролі яких виступають не тільки вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти, а також парабола, кубічна парабола і гіпербола.«Асимптотою графіка функції називають пряму, що володіє наступною властивістю: відстань від точки до цієї прямої прямує до нуля при русі цієї точки до нескінченності уздовж гілки графіка». Асимптотичне дослідження функції показує: що графік має вертикальну асимптоту х = 3, так як при і ; горизонтальну асимптоту , причому ця пряма є асимптотою для обох віток графіка, так як як при , так і при . Зараз видно, що графік цієї функції виходить з графіка наступними перетвореннями: зміщенням на 3 одиниці вправо, розтягуванням в 7 разів уздовж осі Оу і зміщенням на 2 одиниці вгору. Асимптотичне дослідження функції показує: що графік має вертикальну асимптоту х = 3, так як при і ; горизонтальну асимптоту , причому ця пряма є асимптотою для обох віток графіку, так як як при , так і при . Висновок: якщо при діленні чисельника на знаменник виходить остача а, , то графік цієї функції має дві асимптоти: вертикальну x = в та горизонтальну y = .Виділена ціла частина являє собою параболу, отже, отриманий вираз підказує нам, що при значения нашої функції прямують до значень функциії , тобто графік функції повинен підходити до параболи як завгодно близько, ніколи її не перетинаючи. За асимптотним дослідженням ми бачимо, що графік не має горизонтальних асимптот, має две вертикальні Прямі , ; але має й асимптотичну криву, тобто параболу, яка задаеться рівнянням та виконує роль асимптоти. Висновок: якщо раціональна функція, представлена дробом і дорівнює парному числу, то асимптотична крива представляє собою графік функції , нагадуючи параболу, тобто графік функції . І задала собі питання: «А що буде, якщо різниця стане непарним числом?» Можна було припустити, що в такому випадку асимптотами будуть служити також функціі виду , графіки яких схожі з графіком функції , тобто з кубічною параболою. За асимптотичним дослідженням ми бачимо, що функція не має горизонтальних асимптот, але має дві вертикальні асимптоти і ще одну - асимптоту , графік який повністю відповідає моїм припущенням (рис.Проробивши ряд досліджень з графіками функцій, представлених дробовими раціональними виразами, ми помітили наступне: 1. при діленні чисельника на знаменник виходить остача,то графік має горизонтальну асимптоту, рівну , якщо показник степеня чисельника менше показника степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту; якщо показник степеня чисельника дорівнює показнику степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту. Конічні перетину: парабола, кубічна парабола, гіпербола поводяться як асимптоти по відношенню до графіків. У раціональній функції: - якщо різниця дорівнює парному числу, то асимптота являє собою графік функції , який нагадує параболу, тобто графік функції ; якщо різниця дорівнює непарному числу, то асимптота являє собою функції виду , графіки котрих схожі з графіком функції , тобто з кубічною параболою; Прийшла до висновку, що графік раціональної функції можна побудувати методами елементарної математики за допомогою асимптотичного дослідження функції: знайти і визначити: парність (симетричність) функції; точки в яких функція невизначена; значення аргументу, при яких дріб дорівнює нулю; точки в яких вона добре рахується.

Зміст

ВСТУП

1. асимптотичне дослідження раціональних функцій і побудова їх графіків за допомогою прямолінійних асимптот

2. асимптотичне дослідження раціональних функцій та побудова їх графіків за допомогою асимптотичних кривих

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

функція графік асимптота дослідження

У роботі представлена достатня кількість прикладів, що розкривають спосіб побудови графіків раціональних функцій. Проробивши ряд досліджень з графіками функцій, представлених дробовими раціональними виразами, ми помітили наступне: 1. при діленні чисельника на знаменник виходить остача,то графік має горизонтальну асимптоту, рівну , якщо показник степеня чисельника менше показника степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту; якщо показник степеня чисельника дорівнює показнику степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту.

2. Конічні перетину: парабола, кубічна парабола, гіпербола поводяться як асимптоти по відношенню до графіків.

3. У раціональній функції: - якщо різниця дорівнює парному числу, то асимптота являє собою графік функції , який нагадує параболу, тобто графік функції ;

- якщо різниця дорівнює непарному числу, то асимптота являє собою функції виду , графіки котрих схожі з графіком функції , тобто з кубічною параболою;

- якщо то графік функції має асимптоту, схожу на гіперболу оскільки вона задається формулою де

- якщо то графік функції має асимптоту, задану формулою де , тобто схожу на графік функції .

Отже, чисто індуктивним шляхом, тобто методом проб і помилок, я підтвердила свої припущення, що можна з першого погляду визначити, які асимптоти має графік і скільки їх. Прийшла до висновку, що графік раціональної функції можна побудувати методами елементарної математики за допомогою асимптотичного дослідження функції: знайти і визначити: парність (симетричність) функції; точки в яких функція невизначена; значення аргументу, при яких дріб дорівнює нулю; точки в яких вона добре рахується. Аналіз поведінки не тільки вертикальних, горизонтальних, похилих асимптот, а також і асимптот, в ролі яких виступають конічні перетину: парабола, кубічна парабола і гіпербола допомагають будувати графіки раціональних функцій.

Я відкрила для себе нові точки для побудови графіків - точки вигину графіка щодо його асимптот. Звичайно, мої висновки потребують дедуктивного обґрунтування, яке мені недоступно. Але я побачила силу експериментального методу в математичних дослідженнях, зуміла на своєму рівні дійсно зробити для себе відкриття, перевірила всі свої дослідження на компютері і переконалася у правильності своїх висновків.

Я вважаю, що тема моєї роботи досить актуальна, тому що по-перше: дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти (прямий) або асимптотичної кривої (параболи, кубічної параболи або гіперболи ), властивості яких добре вивчені. По друге: спектр застосування методів, за допомогою яких будуються графіки функцій дуже широкий, але даний метод, який спирається на аналіз поведінки функції щодо асимптот, доступний для розуміння школярів. Така побудова графіків функцій представляється доцільним для надання допомоги випускникам середніх шкіл, студентам вузів і педагогічних інститутів при підготовці їх до педагогічної практики, а також для викладачів математики середніх шкіл.

1. Ольхова А.Ф., Функции, их свойства и графики, методическое пособие для учащихся подготовительных курсов ТРТУ, Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

2. Егерев В.К. Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. Высшая школа. М., 1970.

3. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Школ Э.Э. Функции и графики. Наука,1973.

4. Костюкова Н.К. Построение графиков рациональных функций. Москва,1998.

5. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Учпедгиз, 1961.

6. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Підручник з алгебри для 11 класу академічного і профільного рівня.

7. http://uk.wikipedia.org/wiki/

8. Дашкевич М. Я. Застосовування графіків функції при розвязуванні рівнянь і нерівностей. Посібник для підготовки учнів до математичних олімпіад . Миклаші 2011

Размещено на .ru