Доказательство утверждения "Уравнение al bq=cq (где l и q больше или равно 3) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b и c таких, чтобы a - было четным, b и c - нечетными целыми числами". Частный случай теоремы Ферма.
При низкой оригинальности работы "Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а - четное число, и - целые числа, , , - =натуральные числа. Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, четность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено). Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное число, а - четное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3, Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами. Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов ( ) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов (Р = 1 1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и « » соответственно): Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17?), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения: , , , , где - взаимно простые нечетные целые числа. Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е. Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18) и (19?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39??), (37), (38??) и (33?), т.е.Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах: а) ; ; ; ; Из (16) и (17) имеем: Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом: => . Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений. Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b=-В, n= N, K) с = - В (16-B), b= С (17 C), n= N (18), K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е. Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17 C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8): , где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д. Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =-Х2(1) =-1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения: , а - взаимно простые нечетные целые числа. Следовательно, «Общие свойства для с и b» (cb=-СВ, с - b=-С-В, с - b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» (cb = const? , с - b = const??, с - b = const??? ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили. (Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n =-N, K) «Общие свойства для с и b» (cb= СВ = const?, с - b=-С В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть. «Общие свойства для с и b» (cb= СВ = const?, с - b= С - В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть. «Общие свойства для с и b (cb= СВ = const?, с - b=-С В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.Итак, уравнение (15) , если c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после
План
Содержание
Общее утверждение
Утверждение 1
Доказательство Части первой «Утверждения 1»
Доказательство Части второй «Утверждения 1»
Пример
Примечание
«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)
Утверждение 2
Доказательство Части первой «Утверждения 2»
Доказательство Части второй «Утверждения 2»
Примечание
Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма
Утверждение 3
Доказательство Части первой «Утверждения 3»
Доказательство Части второй «Утверждения 3»
Примечание
Общий вывод
Литература
Вывод
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3, Уравнение (1) ( , - натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения1)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1 (продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и « »).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов ( ) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1 1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и « » соответственно):
********
Случай 1.
(16)
(17?)
(18)
(19)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность : => .
Выразим из (25) и (26) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: , , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим : , т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17?) и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b: , т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35), получим => .
Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)): , т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17?), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения: , , , , где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.
, , , ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 3
(16)
(17?)
(18)
(19?).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19?), можно получить разность : - => (26?).
Выразим из (25) и (26?) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30?), (31?), а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19?) с учетом (29) выразим : , т.е. (33?).
Т.о., , , где , т.е. (34?), (35?), выражения которых, с учетом (33?), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17?) и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b: , т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35?), получим => ( ).
Теперь, с учетом ( ), можно получить окончательное выражение для с (из (34?)): , т.е. (39??).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17?), (18) и (19?), в конечном счете имеет следующие решения: (39??), (38??), где - взаимно простые нечетные
, (33?), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18) и (19?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39??), (37), (38??) и (33?), т.е.
Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие: 1. (16) 2. (16?) (39?)
(17?) (37) (17) (37?)
(18) (18?) (38?)
(19) (33) (19?) (33?)
3. (16) (39??) 4. (16?) (39???)
(17?) (37) (17) (37?)
(18) (38??) (18?) (38???)
(19?) (33?) (19) (33)
*********
Рассмотрим еще 10 случаев.
5. с = С 6. с = - С 7. c = C 8. c = - C b = - B b = B b = - B b = B n= - N n = N n = - N n = N
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С b = B b = -B b = B b = -B n =- N n = N n = N n =- N
13. с = С 14. с = -С b = B b =- B n =- N n = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
(16)
(17?)
(18?)
(19).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность : => .
Выразим из (25) и (26) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: , , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим : , т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17?) и (18?), найдем разность :
т.к. , т.е. (36?).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n: где .
Т.к. b c =2n, то b-2n = b - (b c) = - c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34), получим => (38?).
Теперь, с учетом (38?), можно получить окончательное выражение для b (из (35)): , т.е. (41).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17?), (18?) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения: (41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38?), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18?) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38??) и (33), т.е.
Учитывая (14) и (19?), можно получить разность : => (26?).
Выразим из (25) и (26?) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: (30?), (31?), а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19?), с учетом (29), выразим : , т.е. (33?).
Т.о., , , т.е.
(34?), (35?), выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17?) и (18?), найдем разность :
т.к. , т.е. (36?).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n: где .
Т.к. b c=2n, то b-2n = b-(b c) = -c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34?), получим => (38???).
Теперь, с учетом (38???), можно получить окончательное выражение для b (из (35?)): , т.е. (41??).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17?), (18?) и (19?), в конечном счете, имеет следующие решения: (40), (38???), (41??), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17?), (18?) и (19?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41?), (38???) и (33?), т.е.
*******Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .
Случай 9
(16)
(17)
(18?)
(19)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом: => .
Следовательно, = => 2t = 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = 2r (32?) => в (16) и (17) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*********
Случай 10
(16?)
(17?)
(18)
(19?), т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.
Действительно, из (16?) и (17?) имеем:
Учитывая (14) и (19?), можно получить разность другим способом: - => .
Следовательно, - =- => 2t = 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = 2r (32?) => в (16?) и (17?) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Случай 11
(16)
(17)
(18)
(19?)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19?), можно получить разность другим способом: - => .
Следовательно, =- => 2t = - 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = -2r (32?) => в (16) и (17) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
Случай 12
(16?)
(17?)
(18?)
(19), т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.
Действительно, из (16?) и (17?) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом: => .
Следовательно, - = => 2t = - 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = -2r (32?) => в (16) и (17) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Случай 13
(16)
(17)
(18?)
(19?)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19?), можно получить разность другим способом: - => .
Следовательно, =- => 2t = - 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = -2r (32?) => в (16) и (17) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Случай 14
(16?)
(17?)
(18)
(19), т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.
Действительно, из (16?) и (17?) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом: => .
Следовательно, - = => 2t = - 4r ( ? 0, т.к. в (26??) с ? b) => t = -2r (32?) => в (16) и (17) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
***********1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2 (продолжение).
Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».
В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая « » и «-».
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K) с = - В (16-B), b= С (17 C), n= N (18), K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.
Учитывая (14) и (19), можно получить разность : => .
Выразим из (25) и (26) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: , , а их сумма .
Т.к. из (8) , то => .
Из (19) с учетом (29) выразим : , т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для с: , т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (34), получим => .
Теперь, с учетом (38??), можно получить окончательное выражение для b (из (35)): , т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17 C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8): , где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8 с = - В (16-B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= В (17), n= N (18), n= N (18), K (19), K (19).
У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.
«Общие свойства для с и b»: cb= -СВ, с - b= -С -В, с - b=2К
- 2К С В = 0 => X1,2 = К , где, например, Х1 = -b, а Х2 = с, то есть
Х1 = -b = К = = = = -В => b = В, где на основании и Х1 = - b= -
Х2= с = К- = - = - = - = -С => с = - С, где на основании (40?) и Х2 = Таким образом, мы получили случай 8: Случай 8 с = - С (16?), b= В (17), n= N (18), K (19), где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1 = с, а Х2 = - b. Тогда получим: Х1 = с = К = = = = -В => с = -В, где на основании (40?) и Х1 = с = -1.
Х2 = - b = К- = - = - = - = -С => - b= -С => b = С, где на основании и Х2 = -
Таким образом, мы получили случай 15: Случай 15 с = -В (16-B), b= С (17 C), n= N (18), K (19), где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =- Х2(1) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для с и b» (cb= -СВ, с - b= -С -В, с - b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( cb = const? , с - b = const??, с - b = const??? ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7. с = В с = С b= -С b= -В n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае 7: (40), (38???), (41?), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= С В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38???), (41?), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6. с = - В (16-B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= В (17), n= N (18), n= N (18), -K (19?), -K (19?).
Окончательные решения в случае 6: (40?), (38), (41?), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= -С -В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5. с = В (16 B), с = С (16), b=- С (17-C), b= -В (17?), n=- N (18?), n= -N (18?), K (19), K (19).
Окончательные решения в случае 5: (40), (38?), (41), , где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= С В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4. с = - В (16-B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= В (17), n=- N (18?), n= -N (18?), K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 4: (39???), (38???), (37?), (33), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= -С - В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3. с = В (16 B), с = С (16), b= -С (17-C), b= -В (17?), n= N (18), n= N (18), -K (19?), -K (19?).
Окончательные решения в случае 3: (39??), (38??), , (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= С В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39??), (38??), где - взаимно простые нечетные
, (33?), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2. с = -В (16-B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= В (17), n=- N (18?), n= -N (18?), -K (19?), -K (19?).
Окончательные решения в случае 2: , , где - взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= - С - В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)
Случай 22. Случай 1. с = В (16 B), с = С (16), b= -С (17-C), b=- В (17?), n= N (18), n= N (18), K (19), K (19)
Окончательные решения в случае 1: , , , где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= - СВ = const?, с - b= С В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, , , ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
**********Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)
Случай 23. Случай 12. с = В (16 B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= - В (17?), n= - N (18?), n= - N (18?), K (19), K (19)
Окончательный вывод в случае 12: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= СВ = const?, с - b= -С В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)
Случай 24. Случай 11. с = -В (16-B), с = С (16), b=-С (17-C), b= В (17), n= N (18), n= N (18), -K (19?), -K (19?).
Окончательный вывод в случае 11: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= СВ = const?, с - b= С - В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)
Случай 25. Случай 10. с = В (16 B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= - В (17?), n= N (18), n= N (18), -K (19?), -K (19?).
Окончательный вывод в случае 10: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (cb= СВ = const?, с - b= -С В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N, K)
Случай 26. Случай 9. с = - В (16-B), с = С (16), b= - С (17-C), b= В (17), n= - N (18?), n= - N (18?), K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае 9: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» (cb= СВ = const?, с - b= С - В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N, -K)
Случай 27. Случай «-». с = В (16 B), с = - С (16?), b= С (17 C), b= - В (17?), n= - N (18?), n= - N (18?), -K (19?), -K (19?).
Окончательный вывод в случае «-»: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( cb= СВ = const?, с - b= - С В = const??, с - b= - 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N, K)
Случай 28. Случай « ». с = - В (16-B), с = С (16), b= - С (17-C), b= В (17), n= N (18), n= N (18), K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае « »: c и b - четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b (cb= СВ = const?, с - b= С - В = const??, с - b= 2К = const??? ) выполняются, то Случаи 28 и « » имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.
*********
Итак, уравнение (15) , если c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах: а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение ( , - натуральные числа, где при - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .
************
Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.
В результате исследования уравнения (1) мы имеем: Вывод 1. Уравнение (1) ( , - натуральные числа, при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
*******
В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.
Пример
Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение (42), где - натуральное число, a - четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. = = с b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).
При «Исключением» являются , или .
(При «Исключением» являются, например, или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).
Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения: a = ?2 - ?2 - четное число при ? и ? - нечетных или четных. c = ?3 3??2 - четное число при ? и ? - нечетных или четных. b = 3?2? ?3 - четное число при ? и ? - нечетных или четных.
(Такой же результат получается (a, c, b - четные числа) для любого уравнения
(42), где - натуральное.)
Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.
«Исключением» являются следующие его решения: 1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);
2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3), при которых получаем соответственно тождества: 1. 23 ? (±3)2 - (±1)2
2. (-2)3 ? (±1)2 - (±3)2
**********
Примечание.
1. Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».
2. Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.
3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , где простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.
«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М. - Наука. - 1982. - С. 13).
Вывод: Великая теорема Ферма для степени простом доказана.
********
Утверждение 2, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4
Часть 1
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая (Утверждения 2)
Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) - попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение - вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует: => (2).
Пусть (3), где и ? - целые числа, отличные от нуля и c2 b2 = 2 ? (4), где ? - нечетное число при c и b- нечетных.
*********
Примечание
То, что ? в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетные числа b и c в виде: b = 2n1 1; c = 2n2 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда b2 c2 = (2n1 1)2 (2n2 1)2 = 2 [2 (n12 n22 n1 n2) 1], где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4): = , где c2 b2 ? 0, т.к. c ? 0, b ? 0, т.е.
(5), где k - целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при - целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с - нечетных числа => 2l-2k - четное число при ).
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2: => =>
Откуда ? = b2 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b - нечетном и 2l-2k - четном.
*********1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения 2» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12)
(13?)
(14)
(15) , которые также являются решениями уравнения (11)
.
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность : => .
Выразим из (17) и (16) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: , , а их сумма .
Т.к. из (4) c2 b2 = 2 ?, то => .
Из (15) с учетом (20) выразим : , т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13?) и (14), найдем сумму : т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: , т.к. из (20) получается
(20?).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=> .
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)): , т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13?) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения: , , (28), , где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30?), => c = (30?), (29?)
(28?), => b = 1 (28?), (24?), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
(12)
(13?)
(14)
(15?) , которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность : - => .
Выразим из (31) и (16) : => (32)
=> (33).
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: (34), (35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 b2 = 2 ?, то и .
Из (15?) с учетом (20) выразим : , т.е. (24?).
Т.о., , , где , т.е.
, , выражения которых, с учетом (24?), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13?) и (14), найдем сумму : т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: ,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26?), получим => (29??).
Теперь, с учетом (29??), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25?)): , т.е. (30??).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13?), (14) и (15?), в конечном счете имеет следующие решения: (30??), , (28), (24?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14) и (15?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30??), (28), (29??) и (24?), т.е.
(30???), => (30???), (29???), (28?), => b = (28?), (24), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К: = С
= В
= N
= К.
Тогда эти первые 4 случая следующие: 1. (12) 2. (12?) (30?)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29) (14?) (29?)
(15) (24) (15?) (24?)
3. (12) (30??) 4. (12?) (30???)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29??) (14?) (29???)
(15?) (24?) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12), (13?), (14?), (15) , которые также являются решениями уравнения
(11)
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): (41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38?), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения: (32) => b (32), (24)
(31) => с = (31), (29?) , где взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14?) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29?) и (24), т.е.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
(12), (13?), (14?), (15?), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): (40), (38???), (41??), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения: (31) => с = (31), (29???) , (32?) => b (32??), (24?), где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14?) и (15?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32??), (31), (29???) и (24?), т.е.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
********Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах: а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2): 1. (16) 2. (16?) (39?)
(17?) (37) (17) (37?)
(18) (18?) (38?)
(19) (33) (19?) (33?)
3. (16) (39??) 4. (16?) (39???)
(17?) (37) (17) (37?)
(18) (38??) (18?) (38???)
(19?) (33?) (19) (33).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2): 1. (12) 2. (12?) (30?)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29) (14?) (29?)
(15) (24) (15?) (24?)
3. (12) (30??) 4. (12?) (30???)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29??) (14?) (29???)
(15?) (24?) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11) с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как: либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b - четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М .- Наука. - 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения (где , q=2 q ) - показатели четные при ? 0 и q ? 0 - натуральных, в уравнении целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам: | | > 2, | | > 2, | c | > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2 b4 = c4 b и c => в уравнении (1) при - четном числе b и c , т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Список литературы
1. Уравнение (1) , где ?2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.
*******
Примечание
1. Понятно, что приведенное доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q=2m при m>2 - натуральном.
2. Если уравнение al b4 = c4, где ?2 - четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то и уравнение a4 b4 = c4 не только неразрешимо в этих же числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
3. Результат доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении al b4 = c4 ( ?2 - четное), а, следовательно, в уравнении a4 b4 = c4 дает возможность в этом уравнении применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.
На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Уравнение ( ? 3 - нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.
*********
Часть первая (Утверждения 3)
Уравнение ( ? 3 - нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой» доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение (1), где ? 3 - нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) - попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение - вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует: => (2).
Пусть (3), где и ? - целые числа, отличные от нуля и c2 b2 = 2 ? (4), где ? - нечетное число при с и b - нечетных.
******
Примечание
То, что ? в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание», стр. 35).
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 1; c = 2n2 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда b2 c2 = (2n1 1)2 (2n2 1)2 = 2 [2 (n12 n22 n1 n2) 1], где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)): = , где c2 b2 ? 0, т.к. c ? 0, b ? 0, т.е.
(5), где k - целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2: => =>
Откуда ? = b2 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b - нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ? 3 - нечетное натуральное число.
Вывод: 1. Из соотношения (4) имеем: (9) - нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем: (10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим: , т.е. (11), где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом: (12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).
Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К , и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
Условие1 (начало). с2 = С b2 = B
= N
Случай « ».
(12 ) - нечетное число при - нечетном;
(13 ) - нечетное число при - нечетном;
(14 ) - нечетное число при - нечетном;
(15 ) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12 ), …, (15 ) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12 ) и (13 ): , т.е. => ( ) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36), !
Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (12 ) и (13 )) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае « » с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - нечетное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12 ), …, (15 ) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи « » и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало). с2 = В b2 = С
= N
«Новые» случаи « » и «-».
(12?±) c2 =± В
(13?±) b2 =±С
(14±) =± N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях « » и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12?±) и ((13?±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях « » и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Уравнение (11) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи « » и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).
Условие 3. с2 = С b2 = B
= К
«Похожие» случаи « » и «-».
(12±) c2 = ± ( ) = ± С
(13±) b2 = ± ( ) = ± В
(14?±) = = ±К
(15?±) = ± N.
Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15?±) = ±N= ±( ) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b - четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях « » и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b - четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где ? 3 - нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения3)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.
Случай 1.
(12)
(13?)
(14)
(15) , которые также являются решениями уравнения
(11) .
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность : => .
Выразим из (17) и (16) : =>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: , , а их сумма .
Т.к. из (4) c2 b2 = 2 ?, то => .
Из (15) с учетом (20) выразим : , т.е. .
Т.о., , , т.е.
, выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13?) и (14), найдем сумму : т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: , т.к. из (20) получается
(20?).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим => .
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)): , т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13?) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения: , , (28), , где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30?), => c = (30?), (29?)
(28?), => b = 1 (28?), (24?), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Случай 3.
(12)
(13?)
(14)
(15?) , которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность : - => .
Выразим из (31) и (16) : => (32)
=> (33)
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид: (34), (35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 b2 = 2 ?, то и .
Из (15?) с учетом (20) выразим : , т.е. (24?).
Т.о. , , где , т.е.
, , выражения которых, с учетом (24?), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13?) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2: ,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26?), получим => (29??).
Теперь, с учетом (29??), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25?)): , т.е. (30??).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13?), (14) и (15?), в конечном счете имеет следующие решения: (30??), , (28), (24?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14) и (15?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30??), (28), (29??) и (24?), т.е.
(30???), => (30???), (29???), (28?), => b = (28?), (24), где
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие: 1. (12) 2. (12?) (30?)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29) (14?) (29?)
(15) (24) (15?) (24?)
3. (12) (30??) 4. (12?) (30???)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29??) (14?) (29???)
(15?) (24?) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12), (13?), (14?), (15) , которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): (41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38?), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения: (32) => b (32), (24)
(31) => с = (31), (29?) , где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14?) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29?) и (24), т.е.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
(12), (13?), (14?), (15?), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15): (40), (38???), (41??), (33?), где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения: (31) => с = (31), (29???) , (32??) => b (32??), (24?), где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13?), (14?) и (15?), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32??), (31), (29???) и (24?), т.е.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом, уравнение (11) , где c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах: а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
**********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах: а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результат полностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2): 1. (12) 2. (12?) (30?)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29) (14?) (29?)
(15) (24) (15?) (24?)
3. (12) (30??) 4. (12?) (30???)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29??) (14?) (29???)
(15?) (24?) (15) (24).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2): 1. (12) 2. (12?) (30?)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29) (14?) (29?)
(15) (24) (15?) (24?)
3. (12) (30??) 4. (12?) (30???)
(13?) (28) (13) (28?)
(14) (29??) (14?) (29???)
(15?) (24?) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как: либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b - четные числа , чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.
*******
Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследования уравнения (1), мы имеем: Вывод: 1. Уравнение (1) ( ? 3 - нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al b4 = c4 при ? 3 - нечетном натуральном и q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m , где m > 2 - натуральном.
**********
На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость «Общего утверждения».
ОБЩИЙ ВЫВОД
1. Уравнение ( , - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел , и может быть либо , либо .
Таким образом, «Общее утверждение» доказано.
ЛИТЕРАТУРА: 1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. - 1988. - №10. - С. 23.
2.Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М., Наука. - 1982 - С. 13.
Май 2009 г., Скворцов А.П.
Уважаемые любители математики и специалисты!
Если не трудно, попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.
Если в ней есть что-то стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.
Я убежден, что примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых других уравнений на их разрешимость в целых числах.
Предлагаю вашему вниманию перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены специалисты некоторых ВУЗОВ г. Томска, с другими - учителя и учащиеся г. Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса» №4-2004 г.
Работы по математике: 1. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других отрезков.
2. Построение с помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других отрезков.
3. Нахождение действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.
4. Решение уравнения в целых числах при - натуральном.
5. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах уравнения р1 р2 = р3, где произведение р1 р2 р3 = R3, R - рациональное число (или рациональная функция), р1, р2 и р3 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
6. Доказательство неразрешимости в рациональных ненулевых числах системы р1 р2 р3 =р4 р1 р2 р3 р4 = , где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р1, р2 , р3 и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными функциями.
Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru
Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл., м/р-н Геолог, д.18, кв.11 тел.: 8 (38 254) 5 79 59.
С уважением, А.П. Скворцов.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
