Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс - Курсовая работа

Барицентрические координаты введены Августином Фердинандом Мебиусом (1790-1868) в 1828 г. Приставка "бари" означает тяжелый (от греч. bario); поэтому «барицентр» означает центр тяжести (центр масс). Еще в ІІІ в. до н, э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.В физике под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при сравнении их с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для упрощения рассуждений такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку (т. е. считают, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А сосредоточена масса m, то будем эту материальную точку обозначать через МА, т. е. будем записывать материальную точку в виде «произведения». Рассмотрим два небольших шарика, имеющих массы m1 и m2, соединенных жестким «невесомым» стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии - ни один из шариков не «перетянет».Для того чтобы с помощью понятия центра масс получать математически корректные решения геометрических задач, непригодно определение центра масс с помощью «подвешивания на ниточке». Рассмотрим сначала две материальные точки m1A1 и m2А2, и пусть Z - их центр масс (свойство 1). Итак, если мы хотим, чтобы выполнялись свойства 1 и 2, то центром масс двух материальных точек m1A1 и m2А2 должна быть такая точка Z, для которой справедливо равенство (1). Итак, если мы хотим, чтобы выполнялось также свойство 3, то центром масс трех материальных точек m1А1, m2А2, m3А3 должна быть такая точка Z, что справедливо равенство (4). Вместо слов «центр масс системы материальных точек» (5) говорят также «центр масс m1, m2,...,mn, помещенных соответственно в точках А1, А2,...,An».6) определяется архимедовым правилом рычага (или, как его еще называют, «золотым правилом механики»): произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1d1 = m2d2, где ml, m2 - массы материальных точек, a d1, d2 - соответствующие плечи, т. е. расстояния от материальных точек до центра масс.При решении геометрической задачи барицентрическим методом мы загружаем отдельные точки массами (т. е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенные положительные числа).Решение: Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка F; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С - массу 3. Далее, имея уже материальную точку 1В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух материальных точек 1B и ХА. Наконец, имея материальную точку ЗС, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух материальных точек ЗС и УА. У нас возникла новая ситуация: кроме материальных точек 1В и ЗС, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре материальные точки: перенести массы материальных точек 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо 5А и 0,6А рассмотреть одну материальную точку 5,6А.Однако формальные определения понятий «материальная точка» и «центр масс» пригодны и тогда, когда «массы» берутся из других числовых множеств. И хотя формально определенным «материальным точкам с отрицательными массами» мы не можем сопоставить физические образы столь же привычные, как в случае положительных масс, однако и в таких более общих случаях использование терминологии, заимствованной из механики, позволяет привлечь физическую интуицию к поиску решений задач. Например, «материальная точка» (-3)А - это точка А вместе с сопоставленным ей числом-3, а «центр масс двух материальных точек (-3)А и 5В» - это такая точка для которой выполняется векторное равенство (рис. Если потребовать, чтобы суммарная масса системы m1A1, m2A2,…,MNAN (т.е. число m1 m2 … mn) была отлична от нуля (что мы и будем предполагать всюду в дальнейшем), то остаются в силе: а) определение центра масс; б) теорема 1; в) следствие из теоремы 1 о существовании и единственности центра масс у любой системы материальных точек. Далее, теорема 2 для случая действительных (не обязательно положительных) масс заменяется следующим утверждением: Центр Z двух масс m1 и m2 с ненулевой суммой, помещенных в концах отрезка A1A2, лежит на прямой, содержащей этот отрезок, и удовлетворяет условию , где - соответствующие «плечи»; при этом точка Z лежит на отрезке А1А2, если знаки чисел m1 и m2 одинаковы, и вне его, если они противоположны.Пусть шарик, расположенный в точке А1 имеет объем и массу m1. Тогда на него действует направленная вниз сила тяжести, имеющая величину m1 , и архимедова выталкивающая сила, которая имеет величину (p ) (где р - плотность жидкости) и направлена вверх - противоположно силе тяжести (рис. Это можно условно истолковать так (отбросив среду), как будто шарик находится в вакууме и имеет «приведенную» массу тогда как раз на него будет действовать сила

План

Введение

Глава 1. Определение центра масс

1. Физическое определение центра масс

2. Математическое определение центра масс

3. Свойства центра масс

Глава 2. Решение геометрических задач барицентрическим методом

1. Положительные массы

2. Отрицательные массы

3. Комплексные массы

Заключение

Литература

Барицентрические координаты введены Августином Фердинандом Мебиусом (1790-1868) в 1828 г. Приставка "бари" означает тяжелый (от греч. bario); поэтому «барицентр» означает центр тяжести (центр масс).

Родоначальником метода барицентрических координат был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в ІІІ в. до н, э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В первой и второй главах раскрывается идея барицентрического подхода. Сущность его состоит в том, что наше внимание концентрируется на определенных точках-центрах масс каких-то систем материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей. Из механических соображений эти точки появляются совершенно естественно. Геометрически же целесообразность рассмотрения именно этих точек заранее неясна; и вдруг чудесным образом оказывается, что их использование позволяет быстро найти (и строго обосновать) решение трудной геометрической задачи. Для решения геометрических задач целесообразно распространить понятие центра масс на случай материальных точек и с отрицательными массами об этом говорится во второй главе, применении изложенных идей к задачам популяционной генетики. И рассматривается закон Харди-Вайнберга.