Вивчення та аналіз ізольованих особливостей і сингулярностей нульової екстремальної довжини. Дослідження неперервного і гомеоморфного продовження до межі гомеоморфізмів між областями квазіекстремальної довжини в так званих слабо плоских просторах.
При низкой оригинальности работы "До теорії локальної поведінки відображень зі скінченним спотворенням", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Квазірегулярні відображення, названі також відображеннями з обмеженим спотворенням, було введено на початку 60-х років Решетняком Ю.Г. У цьому ж звязку необхідно також згадати відображення обмеженим інтегралом Діріхле, теорія яких розроблялася школами Лелон-Феран Же і Суворова Г.Д. Високий рівень абстракції теорії відображень дозволяє застосовувати цю теорію до усіх сучасних класів відображень, де вдається встановити оцінку модуля з відповідною мажорантою , повязану з тими або іншими характеристиками (дилатаціями) відображень, зокрема, до відображень зі скінченним спотворенням за Іванцем і відображення зі скінченним спотворенням довжини по Рязанову. Відзначимо, що гомеоморфізми самі є відображеннями зі скінченним спотворенням у сенсі геометричного визначення. Саме, дисертація заповнює прогалини, що були в теорії гомеоморфізмів (відображень зі скінченним спотворенням у сенсі геометричного визначення) в , і в розвитку методу модулів стосовно гомеоморфізмів у довільних метричних просторах.За класичним геометричним визначенням гомеоморфізм між областями та в , називається квазіконформним, якщо для деякого і для будь-якої сімї кривих у , тобто якщо спотворення модуля сімей кривих при відображенні обмежено. Гомеоморфізм = називається гомеоморфізмом, якщо для будь-якої сімї кривих в і будь-якої допустимої функції для . Аналогічно, ми говоримо, що область є локально лінійно звязною в точці якщо для будь-якого околу точки знайдеться окіл точки такий, що лінійно звязне, тобто будь-які дві точки в можливо звязати неперервною кривою. Говоритимемо, що межа області є слабо плоскою у точці, якщо для будь-якого числа і околу точки знайдеться її окіл такий, що для будь-яких континуумів та в , які перетинають та Тут означає сімю всіх кривих, що зєднують та в . Також говоритимемо, що сильно досяжна в точці , якщо для будь-якого околу точки знайдеться компакт , окіл точки та число такі, що для будь-якого континууму в , що перетинає і Межу області називаємо сильно досяжною та слабо плоскою, якщо відповідні властивості мають місце в кожній точці межі.Побудовано теорію граничної поведінки гомеоморфізмів між областями в довільному метричному просторі з локально скінченною борельовською мірою . Зокрема, показано, що будь-який гомеоморфізм між областями зі слабо плоскими межами і компактним замиканням допускає гомеоморфне продовження на межу, якщо мажоранта має скінченне середнє коливання в точках межі щодо міри . Розвинено теорію слабо плоских просторів, які є узагальненням недавно введених просторів Льовнера, і на цій основі, зокрема, отримано узагальнення і підсилення відомої теореми Герінга - Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини.
План
Основний зміст дисертації
Вывод
Перерахуємо найбільш важливі результати дисертації.
1. Доведено, що гомеоморфізми за Мартіо в , , диференційовані майже усюди і абсолютно неперервні на лініях, більш того, належать класу Соболєва , якщо мажоранта локально інтегрована.
2. Побудовано теорію граничної поведінки гомеоморфізмів між областями в довільному метричному просторі з локально скінченною борельовською мірою . Зокрема, показано, що будь-який гомеоморфізм між областями зі слабо плоскими межами і компактним замиканням допускає гомеоморфне продовження на межу, якщо мажоранта має скінченне середнє коливання в точках межі щодо міри .
3. Розвинено теорію слабо плоских просторів, які є узагальненням недавно введених просторів Льовнера, і на цій основі, зокрема, отримано узагальнення і підсилення відомої теореми Герінга - Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Крім того, в зазначених метричних просторах знайдено ряд умов на , при яких ізольовані особливі точки усувні по неперервності, а сингулярності нульової екстремальної довжини неістотні щодо гомеоморфізмів.
Таким чином, у дисертації розвинено модульну техніку стосовно конформних і квазіконформних відображень та їх узагальнень у метричних просторах, і на цій основі побудовано теорію їх поведінки на межі та в особливих точках. При цьому відповідні результати про гомеоморфне продовження на межу відображень між областями зі слабо плоскими межами є новими навіть для конформних і квазіконформних відображень на площині й у просторі. Розвинена теорія може бути застосована також до різних сучасних класів відображень зі скінченним спотворенням на ріманових многовидах, просторах Льовнера і добре відомих групах Карно і Гейзенберга.
Список литературы
1. Salimov R. Local behavior of Q-homeomorphisms with respect to a measure // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 12. - С. 122-127.
2. Рязанов В., Салимов Р. Теория отображений в слабо плоских пространствах // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 148-153.
3. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы в пространствах Левнера // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 161-173.
4. Салимов Р. О граничном поведении отображений между областями в метрических пространствах // Труды Института математики НАН Украины, Киев. - 2006. - Т.3. - С. 421-430.
5. Салимов Р. Q-гомеоморфизмы абсолютно непрерывны на линиях // Труды ИПММ НАН Украины. - 2007. - Т. 14. - С. 143-149.
6. Рязанов В., Салимов Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестник. - 2007. - Т. 3. - № 2. - С. 199-234.
7. Салимов Р. О граничном поведении вложений метрических пространств в евклидово // Укр. мат. журн. - 2007. - №8. - С. 68-74.
8. Салимов Р.Р. О граничном поведении отображений метрических пространств // Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Новороссийск, Россия. - 2006. - C. 153-154.
9. Salimov R. On ACL-homeomorphisms // Abstracts of International conference in Geomrtric analysis and nonlinear PDE, Bedlevo, June 3-10, Poland. - 2007. - P. 17-18.
10. Salimov R. Differentiability and linear absolute continuity of locally integrable Q-homeomorphisms // Abstracts of Bogolubov readings 2007, Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday Ukraine, Zhitomir-Kiev, 19 August - 2 September 2007 Украина, 19-26 августа, Житомир, 2007. - С. 46-47.
11. Salimov R. Absolute continuity and differentiability of Q-homeomorphisms // Reports in Math. of Univ. of Helsinki. - 2007. - 463. - 7 pp.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
