Дискретне визначення геометричних об"єктів числовими послідовностями - Автореферат

Враховуючи досить умовний поділ на дискретні та неперервні моделі, в багатьох практичних задачах важливим є наявність ефективних методів, математичних алгоритмів переходу від дискретних геометричних моделей до неперервних моделей тих же обєктів і навпаки. І статико-геометричний метод формоутворення дискретних образів, і методи дискретної інтерполяції та апроксимації, що розвиваються вченими Мелітопольської школи, є цілком самостійними методами, які активно застосовуються на практиці, а результати, отримані обома методами, підтверджують їх достовірність і ефективність. Оскільки одним із напрямків цих досліджень є саме статико-геометричний метод формування дискретних образів, то слід відзначити, що практично всі наукові роботи, у яких цей метод є теоретичною основою, стосуються одновимірних та двовимірних геометричних образів. У теоретичному плані створення нової теорії формоутворення дискретних образів за допомогою апарату числових послідовностей, в поєднанні з класичним методом скінченних різниць та статико-геометричним методом моделювання, відкриває нові можливості для вирішення конкретних проектних задач, в аналізі та управлінні певними процесами. Статико-геометричний метод формоутворення дискретних структур, в основі якого лежить статична інтерпретація чисельного методу скінченних різниць є найбільш наочним і зрозумілим методом дискретного моделювання неперервних образів, а в цілому ряді випадків враховує статичні особливості того чи іншого обєкта, оскільки базується на геометричній моделі розрахунку зрівноважених сіток або ґраток, що формуються під дією зовнішнього формоутворюючого навантаження, прикладеного до вузлів моделі.Обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та задачі досліджень, викладено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, висвітлено інформацію з апробації результатів роботи.Будь-яка дискретна система, яка складається з вузлів та прямолінійних звязків між ними в просторі довільного числа вимірів може бути представлена, як зрівноважена система сил, де внутрішні зусилля у вязях Rn, що пропорційні довжинам вязей, урівноважуються зовнішніми зусиллями Pi, прикладеними до вузлів (рис. Система рівнянь рівноваги вузлів такої моделі буде лінійна, оскільки координатні складові зусиль лінійно залежать від координат сусідніх вузлів і запишеться: (1) де u1, u2, …, un - узагальнені координати вузлів сусідніх від і-го, ui - координати і-го вузла, ?1, ?2,…?n - коефіцієнти лінійних різницевих операторів, що показують дольову участь сусідніх вузлів у формуванні і-го, які прийнято подавати у вигляді обчислювальних шаблонів, КРІ - зовнішнє навантаження, прикладене до і-го вузла. Для найпростішої триточкової залежності між суміжними вузлами дискретного аналогу кривої, функцію навантаження у вузлі можна представити: Проведені дослідження дозволили розширити формоутворюючі можливості статико-геометричного методу, в плані побудови моделей дискретних аналогів кривих, вузли яких знаходяться у рівновазі, відмінних від парабол n-го порядку, а саме кривих гіперболічного (рис. До системи рівнянь вигляду (4) можна ввести додатковий параметр KQ: звільнившись від якого, матимемо систему різницевих рівнянь вигляду: Коефіцієнти лінійних різницевих операторів, представлених шаблонами вищих порядків, можна отримати за аналогією з трикутником Паскаля, де кожен елемент нижнього рядка визначається як різниця двох елементів, що стоять над ним. Будемо звязувати з членами послідовностей, в даному випадку, не числа (точки) на числовій осі, а вертикальні відрізки в координатній площині, де номер члена послідовності можна прийняти за абсцису члена послідовності, а значення члена - за ординату.9, з якого видно, що коефіцієнти лінійних різницевих операторів визначаються як різниця двох сусідніх елементів у взаємноперпендикулярних напрямках, наприклад, коефіцієнт вузла 3 буде визначатись: (0-1) (0-0)=1, вузла 5 - (-1-1) (-1-1)=-4, вузла 9 - (0-1) (0-0)=1 і т.д. З подвійними числовими послідовностями будемо звязувати не числа в координатній площині, а вертикальні відрізки у тривимірному просторі, де подвійний номер члена послідовності можна прийняти за абсцису і ординату члена послідовності, а значення члена - за аплікату. Запропоновано трикутник коефіцієнтів, що дозволяє визначити члени будь-якого стовпчика розрахункової схеми, наприклад, члени подвійної послідовності стовпчика z6,k визначаються: Разом із тим, у роботі наведено метод прямого переходу від рекурентної формули подвійних числових послідовностей до їх замкненого виду, що дало можливість формувати дискретно визначені зрівноважені відсіки поверхонь без складання і розвязання систем лінійних рівнянь, визначати геометричні властивості формованих обєктів, ефективно переходити до їх неперервних аналогів. Так, наприклад, за заданих початкових умов у вигляді одновимірних числових послідовностей 2-го порядку та функціонально розподіленому навантаженні, описаному дискретним аналогом гіпара, загальний член подвійної числової послідовност

Основний зміст роботи