Анализ математических методов анализа дискретизированных сигналов и связи между ними. Число параметров или степеней свободы сигнала. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала. Метод дискретизации Шеннона. Частотное разрешение сигналов.
Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времени имеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до . Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции? Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций. Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием ее значений только на интервале . Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию : A.В комплексных рядах Фурье имеется комплексных амплитуд , являющихся сопряженными для Вместе это дает независимых вещественных переменных, и имеющиеся дискретных точек сигнала обеспечивают такое же числостепеней свободы.Шеннон использовал метод дискретизации применительно к упомянутому выше доопределению B вида (3) функции одиночного сообщения f (t), которая считается нулевой для . Возьмем периодическую функциюf (t) с большим периодом и будем считать, что принимает свои значения на интервале от 0 до и обращается в ноль на интервалеот до . При этом считаем, что имеет место плавный переход в ноль на обоих концах интервала , чтобы не вносить каких-либо частот, лежащих выше границы . Из этих дискретных точек, точек попадают в интервал , а оставшиеся точек - в интервал . Тогда как другие точки дают ноль: Импульсная функция уравнения (13) принимает видФункция , доопределенная с помощью условий (3), имеет только степеней свободы, как это следует из метода дискретизации.В разделе 2 установлен результат, согласно которому заданная функция времени f (t), существующая на интервале длительности ?, удовлетворяющая условиям f (t) =0 при t?, и имеющая спектр, ограниченный максимальной частотой ?max, определяется числом независимых параметров или степеней свободы (Nidp), которое, (если не ограничиваться большими ?) находится с помощью выражения: (27) Как мы видели, такой результат следует из представления функции f (t) в виде ряда или интеграла Фурье, а также является следствием применения метода дискретизации сигнала, когда f (t) представляется в виде дискретизированной функции f (tm), задаваемой в точках tm с m=1,2,…,Nidp. Следует отметить, что число точек дискретизации функции f (t), и как следствие, значения ?t и ??, определяются величиной Nidp, а не общим числом экспериментальных точек N, в которых выполнено измерение f (t) поскольку, несмотря на независимый характер всех N измерений, они не являются независимыми для сигналов ограниченных по времени и частоте. Применительно к теории рентгеновских спектров поглощения (X-rayabsorptionspectra или XAS) представленные результаты могут быть переписаны путем замены переменных: длительность сигнала ? > ?k = (kmax - kmin) - протяженность XAS сигнала в прямом или k-пространстве (kmin,kmax - соответственно нижняя и верхняя границы сигнала), и частота ? > 2R - частота в пространстве межатомных расстояний. Полученное оценочное соотношение устанавливает широко распространенный в теории EXAFS предел разрешения двух межатомных расстояний, согласно которому два расстояния R1 ИR2 от поглощающего центра до атомов окружения, разность которых удовлетворяет неравенству ?R = |R2 - R1| <?R = ?/ (2?k), не могут быть разрешены с помощью Фурье-анализа сигнала ? (k) по имеющемуся интервалу волновых ЧИСЕЛ?K.
План
Содержание
1. Число параметров или степеней свободы сигнала
2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала
3. Метод дискретизации Шеннона
4. Метод дискретизации и интеграл Фурье
5. Частотное разрешение сигналов. Приложение к анализу рентгеновских спектров поглощения атома в соединении
Литература
1. Число параметров или степеней свободы сигнала
Список литературы
1. Боккуцци, Д. Обработка сигналов для беспроводной связи / Д. Боккуцци; Пер. с англ. Ю.Л. Цвирко; Под ред.В.И. Борисова. - М.: Техносфера, 2012. - 672 c.
2. Воробьев, С.Н. Цифровая обработка сигналов: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / С.Н. Воробьев. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 320 c.
3. Лайонс, Р. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / Р. Лайонс. - М.: Бином-Пресс, 2013. - 656 c.
4. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер; Пер. с англ. С.А. Кулешов; Пер. с англ. С.Ф. Боев. - М.: Техносфера, 2012. - 1048 c.
6. Хименко, В.И. Статистическая акустооптика и обработка сигналов / В.И. Хименко, Д.В. Тигин. - СПБ.: СПБГУ, 2012. - 292 c.
7. Чан, Т.Т. Высокоскоростная цифровая обработка сигналов и проектирование аналоговых систем / Т.Т. Чан; Пер. с англ. К.В. Юдинцев. - М.: Техносфера, 2013. - 192 c.
Размещено на
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
