Возврат и логарифмический возврат. Статистическое оценивание параметров модели. Стационарные в широком смысле модели. Линейные модели финансовых временных последовательностей. Линейный прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей.
Предположим, что мы определили единицу измерения времени (один день, один месяц или один год). Для различных финансовых теорий время и динамика являются неотъемлемой частью рассуждений, поэтому целесообразно рассмотреть поток - подалгебр . Смысл введения потока, называемого в литературе также фильтрацией заключается в том, чтобы в любой момент времени оперировать, только теми случайными событиями, которые «доступны» наблюдателю до момента времени включительно. Например, до момента времени включительно наблюдателю могут быть доступны стоимости тех или иных активов, начиная с некоторого начального момента до момента времени . Если рассматривать как информацию доступную к моменту времени , то естественно считать, что последовательность - адаптирована, то есть для любого момента времени измеримы.Гильбертовым пространством вещественно - значных случайных величин с конечным вторым моментом называется линейное пространство случайных величин с и скалярным произведением Рассмотрим совокупность линейно-независимых случайных величин , обозначим через линейную оболочку, натянутую на случайные величины . Наилучшим линейным прогнозом случайной величины по совокупности случайных величин назовем Таким образом, решение задачи (2.2) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений .. Наилучшим прогнозом случайной величины по совокупности случайных величин назовемОстановимся на проблеме описания распределения вероятностей последовательности , что сводится к описанию распределения вероятностей последовательности или последовательности . Ошибка прогноза распределена по нормальному закону распределения с математическим ожиданием и дисперсией В реальности ситуация более благоприятна, поскольку многочисленные исследования временных финансовых последовательностей показывают, что последовательность не является гауссовой последовательностью. Это распределение интерпретируется формулой: , (3.6) в которой - последовательность независимых и одинаково распределенных бинарных случайных величин, - последовательность независимых стандартных гауссовых величин, независящих от . На рисунке 3.1 представлен график реализации последовательности .Далее мы будем считать, что последовательность - стационарна в широком смысле. Элементы последовательности принадлежат гильбертову пространству комплексно-значных случайных величин , со скалярным произведением , - комплесно-сопряженное число к . Функция называется ковариационной функцией. Функция называется корреляционной функцией. В качестве упражнения доказать следующие свойства ковариационной функции: Пример 1.Определим функцию Определим функцию Для каждой такой функции определим интеграл: . Ее естественно назвать интегралом от функции по стохастической мере . Функция называется спектральной функцией, функция называется спектральной плотностью.Предположим, что на вход системы подается в момент времени случайный сигнал , при этом на выходе системы в момент времени получается сигнал , где , - некоторая комплекснозначная функция, называемая импульсной переходной функцией. Для физически реализуемого устройства значение выходного сигнала зависит только от прошлых значений входного сигнала, то есть от значениями при . Подадим на вход фильтра стационарную в широком смысле последовательность с ковариационной функцией и спектральным представлением (5.13). При выполнении (6.4) ряд будет сходиться в среднеквадратичном смысле и, следовательно, последовательность В частности если на вход фильтра подается белый шум , то есть, , (6.9) то на выходе будет получаться стационарная последовательность со спектральной плотностьюПоследовательность , называется последовательностью скользящего среднего, если она представима в виде Если при , то (7.2) и последовательность называется односторонней последовательностью скользящего среднего. Если к тому же при , то (7.3) и последовательность называется последовательностью скользящего среднего порядка . На рисунке 7.2 представлена машинная реализация авторегрессионной последовательности С использованием оператора уравнение (7.5) примет вид: , (7.7) где единица понимается как тождественный оператор.Для любого элемента обозначим через проекцию на подпространство . Где состоит из элементов , из элементов , . Следующая теорема устанавливает связь между регулярной последовательностью и односторонним скользящим средним. Поскольку порождается элементами из и элементами , и стационарная и регулярная, то размерность равна единице. Как было показано выше, если последовательность представима в виде скользящего среднего, то для такой последовательности существует спектральная плотность .Чтобы решать задачи анализа временных последовательностей, возникающих при описании эволюции стоимости финансовых активов, необходимо уметь оценивать по наблюдаемым значениям параметры модели. Возникает задача: как по наблюдениям значений получить «хорошие» оценки для и . Используем спектральное представление ковариационной функции . Будем считать, что объем выборки наблюдений достаточно большой, что
План
Содержание
1. Возврат и логарифмический возврат
2. Линейный прогноз
3. Гауссовы модели
4. Стационарные в широком смысле модели
5. Спектральное представление стационарных в широком смысле последовательностей
6. Линейный фильтр
7. Линейные модели финансовых временных последовательностей
8. Линейный прогноз для стационарных в широком смысле последовательностей
9. Статистическое оценивание параметров модели
Литература
1. Возврат и логарифмический возврат логарифмический возврат статистический линейный
