Поширення теорії Аракі гібсівських станів на одномірній квантовій гратці на системи, що включають канонічні зсуви на алгебрах Окнеану та асимптотично абелеві бінарні зсуви. Контінуум попарно неспряжених небернуліївських К-систем зі скінченною ентропією.
При низкой оригинальности работы "Динамічна ентропія в операторних алгебрах та квантові системи Колмогорова", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Поняття ентропії автоморфізму простору Лебега було введене Колмогоровим у 1958 році, а потім удосконалено Сінаєм у 1959 році. Потім це поняття було досліджуване Рохліним та Сінаєм, а самі системи дістали назви К-систем. При цьому ентропія в цьому класі є сильним інваріантом: задачу побудови неспряжених К-систем з однаковою ентропією було розвязано лише у 1973 році Орнстейном. З точки зору операторних алгебр ергодична теорія вивчає автоморфізми (дифузійної, з сепарабельним предспряженим) абелевої W*-алгебри. Як і в комутативному випадку, для ергодичного автоморфізму інваріантний нормальний стан єдиний (якщо існує), і ентропія є інваріантом спряженості автоморфізму.Під W*-динамічною системою ми будемо розуміти трійку , де M - W*-алгебра, a - автоморфізм M, f - нормальний а-інваріантний стан. Взаємна ентропія каналів відносно f позначається через , ентропія автоморфізму a відносно каналу g та стану f - через , Ентропія системи (яка дорівнює супремуму по всім каналам g в M) позначається через . В Розділі 2 вводиться поняття К-системи, доводяться деякі загальні властивості динамічних систем та детально розглядається два класи прикладів - бернуліївські системи та автоморфізми некомутативних торів. (Нарнхофер-Тірінг) Говорять, що W*-динамічна система є К-системою, якщо для будь-якої скінченновимірної С*-підалгебри B в M. Бенаті та Нарнхофер довели, що будь-яка К-система , в якій f є точним слідом, має бути сильно асимптотично абелевою.Для будь-якої підмножини L в Z позначимо через AL С*-підалгебру в Існує зберігаюче t умовне сподівання , при цьому для будь-якого . Автоморфізм g2 з цього прикладу є частинним випадком канонічного зсуву на башні відносних комутантів, і теорія підфакторів дає нам велику кількість прикладів систем, задовільняючих припущенням 3.1.1. Нехай X - непорожня скінченна підмножина в N, A - С*-алгебра, породжена симетріями si, , такими що , де a - характеристична функція множини X, , , для будь-якого непорожнього слова з si-их. Стан f будемо називати гібсівським станом, відповідаючим потенціалу .Нехай - примітивна стохастична матриця. Нехай W*(R1) та W*(R2) - відповідні алгебри фон Неймана, f та a - стан та автоморфізм W*(R1), відповідаючі m та s. Ми також доводимо, що системи та є ентропійними К-системами, а їх ентропії дорівнюють ентропії вихідного автоморфізму Маркова. Якщо усі коефіціенти матриці ненульові, то W*(R1) ототожнюється з поповненням С*-алгебри . A називається марківським, якщо для кожного існує цілком позитивне унітальне відображення , яке зберігає f, а алгебра є поточково інваріантною для Fn.Будь-який унітарний оператор U на H визначає боголюбівський автоморфізм AU, , а додатний оператор Але якщо ми обмежимося розгляданням парної частини алгебри (тобто підалгебри, породженої парними добутками та ), то ми отримаємо велику кількість К-систем. оператор U має абсолютно неперервний спектр. Тоді наступні умови еквівалентні: система є ентропійною К-системою; оператор U має абсолютно неперервний спектр. Якщо оператори Az мають чисто точковий спектр для майже усіх z (що є необхідною умовою скінченності інтегралу в теоремі 6.3.1), а оператор U має зліченократний лебегівський спектр, то одержуємо системи з прикладу 6.2.5.Доведено, що К-властивість мають некомутативні бернуліївські та марківські зсуви, а також деякі автоморфізми некомутативних торів. Теорію Аракі конструювання та оцінки швидкості розпаду кореляційних функцій гібсівських станів на одномірній квантовій спіновій гратці поширено на клас систем, який включає канонічні зсуви на алгебрах Окнеану та асимптотично абелеві бінарні зсуви. Доведено, що боголюбівські автоморфізми CCR-алгебри або парної частини CAR-алгебри з квазівільними станами є К-системами тоді і тільки тоді, коли спектр унітарного оператора, що визначає автоморфізм, є абсолютно неперервним. Дано нове доведення формули Войкулеску-Стермера для ентропії боголюбівського автоморфізму CAR-алгебри, а також одержаний її аналог для CCR-алгебри. Результати роботи можуть знайти застосування при вивченні автоморфізмів операторних алгебр, а також в квантовій статистичній механіці при вивченні нескіченновимірних квантових систем.
План
Основний зміст роботи
Вывод
Одержана достатня умова для виконання К-властивості в некомутативній динамічній системі.
Доведено, що К-властивість мають некомутативні бернуліївські та марківські зсуви, а також деякі автоморфізми некомутативних торів.
Теорію Аракі конструювання та оцінки швидкості розпаду кореляційних функцій гібсівських станів на одномірній квантовій спіновій гратці поширено на клас систем, який включає канонічні зсуви на алгебрах Окнеану та асимптотично абелеві бінарні зсуви. Для отриманих систем доведена К-властивість та оцінена ентропія.
Доведено, що боголюбівські автоморфізми CCR-алгебри або парної частини CAR-алгебри з квазівільними станами є К-системами тоді і тільки тоді, коли спектр унітарного оператора, що визначає автоморфізм, є абсолютно неперервним.
Дано нове доведення формули Войкулеску-Стермера для ентропії боголюбівського автоморфізму CAR-алгебри, а також одержаний її аналог для CCR-алгебри.
На гіперфінітному III1-факторі зконструйовано контінуум неспряжених небернуліївських К-систем з однаковою скінченною ентропією.
Результати роботи можуть знайти застосування при вивченні автоморфізмів операторних алгебр, а також в квантовій статистичній механіці при вивченні нескіченновимірних квантових систем.
Публікації здобувача за темою дисертації
1. Golodets V. Ya., Neshveyev S.V. Non-isomorphic quantum K-systems of type III1 // Доповіді НАН України. - 1998. - №10. - С. 12-15.
