Динамічні системи на вимірних, борелівських і канторівських просторах - Автореферат

Ми будемо розглядати тут три основні типи динамічних систем: вимірна динаміка (або ергодична теорія), яка вивчає групи несингулярних автоморфізмів просторів Лебега; борелівська динаміка, яка має справу з групами борелівських автоморфізмів стандартних борелівських просторів (в еквівалентних термінах борелівська динаміка вивчає борелівські відношення еквівалентності); канторівська динаміка, як розділ топологічної динаміки, який досліджує групи гомеоморфізмів канторівської множини. З іншого боку, важливо відзначити, що в останній час в роботах різних авторів були успішно застосовані ідеї і методи, які використовувалися раніше тільки в ергодичній теорії, до вирішення проблем борелівської, канторівської та некомутативної динамік. Серед основних напрямків, які вивчаються в теорії динамічних систем, ми відзначимо наступні: (1) дослідження динамічних властивостей перетворень, які визначаються структурою траєкторій цих перетворень; (2) класифікація (груп) перетворень відносно різноманітних відношень еквівалентності; (3) вивчення топологічних властивостей груп перетворень та зясування типовості тих чи інших класів перетворень в різних динаміках. Основна частина результатів була отримана під час виконання робіт по бюджетним темам НАН України: ``Алгебраїчні та геометричні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем"" (номер державної реєстрації 0196U002943), ``Алгебраїчні та аналітичні методи в теорії операторів та теорії динамічних систем"" (номер державної реєстрації 0100U004485), ``Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем та теорії розсіяння"" (номер державної реєстрації 0103U000313). Серед методів дослідження, що використовуються в дисертації, виділимо наступні: (1) методи орбітальної теорії гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою; (2) методи теорії груп та теорії коциклів динамічних систем зі значеннями в локально компактних групах; (3) методи загальної топології; (4) методи теорії міри та теорії вимірних дійсних функцій; (5) методи спектральної теорії операторів.Нами розглядаються коцикли, що приймають свої значення або в абелевих локально компактних (л.к.) групах або в лічильних аменабельних групах. Розглядається множина , яка утворена усілякими парами (Г,?), де Г <Aut(X,B,?) - ергодична гіперфінітна група автоморфізмів, G - абелева л.к. група і ? - коцикл з множини Z1(X ? A, G). Для групи автоморфізмів та коциклу , що приймає значення в групі , по відомій конструкції (яка була запропонована Маккі в 1966 р.) можно побудувати асоційовану дію групи . Ця дія, якщо коцикл співпадає з коциклом Радона-Нікодима, визначає клас орбітальної еквівалентності групи . Відзначимо, що у випадку несингулярних дій групи замість коциклу належить розглядати коцикл , що приймає значення в групі .Додаток В містить низку понять, визначень та результатів, які використовуються в дисертації.В дисертації побудовано теорію слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою та знайдена структура коциклів таких груп. Ці результати дозволили повністю вирішити проблему зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Інше застосування розроблених методів полягає в вивченні проблеми розширення ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

В дисертації побудовано теорію слабкої еквівалентності гіперфінітних груп автоморфізмів простору з мірою та знайдена структура коциклів таких груп. Ці результати дозволили повністю вирішити проблему зовнішнього спряження для дій лічильних аменабельних груп. Інше застосування розроблених методів полягає в вивченні проблеми розширення ергодичних дій локально компактних абелевих груп на групові розширення, які отримані за допомогою аменабельних груп. Виявляється, що типова дія локально компактної абелевої групи не розширюється до дії групового розширення, яке побудовано за допомогою лічильної аменабельної групи. Отримані умови, при яких невільна дія аменабельної групи є індукованою з підгрупи. Застосувана концепція діаграм Браттелі-Вєршика в борелівській динаміці та знайдена реалізація будь-якого борелівського автоморфізму у вигляді перетворення Вершика, яке діє на просторі нескінченних шляхів діаграми Браттелі. Вперше запровадженні топологічні методи для вивчення групи усіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та побудована теорія апроксимації борелівських автоморфізмів, які належать різним класам. Вивчена структура гомеоморфізмів з повних груп мінімального гомеоморфізму канторівської множини та знайдена вичерпна класифікація насичених мінімальних канторівських систем. Повністю описані гомеоморфізми, які належать замиканням множин мінімальних та топологічно транзитивних гомеоморфізмів відносно різних топологій. Отримані явні формули для обчислювання динамічної ентропії для дій вільної абелевої групи та групи раціональних чисел на алгебрі антикомутаційних співвідношень.

[1] Безуглый С.И. Топологии на полных группах автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Теория и применение диффер. уравнений и алгебра. - Киев.: Наукова Думка, 1978. C. 3-6.

[2] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Некоторые свойства полных групп автоморфизмов пространства с мерой // В кн.: Исследования по теории операторов и их приложениях. - Киев.: Наукова Думка, 1979. C. 23-25.

[3] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Группы преобразований пространства с мерой и инварианты внешней сопряженности для автоморфизмов из нормализатора полных групп типа // Докл. АН СССР. - 1980. - T. 254. - C. 11-14.

[4] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Неаменабельние группы и их действия на пространстве с мерой // В кн: Теория операторов на функциональных пространствах и их приложения. - Киев.: Наукова Думка, 1981. C. 10-21.

[5] Безуглый С.И. Outer conjugacy of countable amenable group actions on a measure space // VI International Symposium on Information Theory, Tashkent, 1984.

[6] Безуглый С.И. Условия гиперфинитности групп автоморфизмов // Укр. Матем. журнал. - 1984. - T. 36. - C. 759-761.

[7] Bezuglyi S., Golodets V. Groups of measure space transformations and invariants of outer conjugation for automorphisms of type full groups // J. Funct. Anal. - 1985. - V. 60. - P. 341-369.

[8] Безуглый С.И., Голодец В.Я. Внешняя сопряженность действий счетных аменабельных групп на пространствах с мерой // Известия АН СССР, сер. матем. - 1986. - T. 50. - C. 641-660.

[9] Безуглый С.И. Полная система инвариантов для внешнего сопряжения действий счетных аменабельных групп // В кн.: Матем. физика и функциональный анализ. - Киев.: Наукова Думка, 1986. C. 59-63.

[10] Безуглый С.И. Внешняя сопряженность автоморфизмов из нормализатора потока // В кн.: Операторы в функциональных пространствах и проблемы теории функций. - Киев.: Наукова Думка, 1987. C. 66-73.

[11] Безуглый С.И., Голодец В.Я., Даниленко А.И. O расширении 1-коциклов динамических систем на элементы нормализатора // Доклады АН УССР, Сер. A - 1988. - T. 2. - C. 3-5.

[12] Bezuglyi S., Golodets V. Type III transformations of measure space and outer conjugacy of countable amenable groups of automorphisms // J. Operator Theory - 1989. - T. 21. - P. 3-40.

[13] Bezuglyi S. A representation of nonsingular automorphisms of a measure space as a product of periodic transformations // Preprint. - Leipzig University. - 1990.

[14] Bezuglyi S., Golodets V. Weak equivalence and the structures of cocycles of an ergodic automorphism // Publ.RIMS, Kyoto Univ. - 1991. - V. 27 - P. 577-625.

[15] Безуглый С.И. T-множество для коциклов // В кн.: Динамические системы и комплексный анализ. - Киев.: Наукова Думка, 1992. C. 169-173.

[16] Bezuglyi S. Outer conjugacy of the fields of groups of automorphisms, Connes-Krieger theorem for the actions of groupoids and induced actions // In: Operator Algebras and Operator Theory, Pitman Research Notes in Math. Series, 271. - 1992. P. 37-45.

[17] Bezuglyi S., Danilenko A., Golodets V. On cocycles of ergodic dynamical systems and automorphisms compatible with them // Adv. Soviet Math. - 1994. - V. 19. - P. 73-96.

[18] Bezuglyi S. H-cocycles and actions of group extensions // International Congress of Mathematicians. - Zurich, 1994. - P. 144.

[19] Bezuglyi S. Ergodic actions of group extensions and cocycles // In: Ergodic Theory and Dyn. Syst., Conference Proceedings. - Warsaw, 1995.

[20] Bezuglyi S. On recurrence and superrecurrence of H-cocycles // Math. Physics, Analysis, Geometry. - 1996. - V. 3. - P. 3-17.

[21] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of group actions on the CAR-algebra // In: Proceedings of the Conference on Methods in Mathematical Physics. - Hadronic Press. 1997. P. 53-77.

[22] Bezuglyi S., Golodets V. Dynamical entropy of Bogoliubov actions of free abelian group on the CAR-algebra // Erg. Theory Dyn. Syst. - 1997. - V. 17. - P. 757-782.

[23] Bezuglyi S. Full groups of minimal homeomorphisms of Cantor sets // International Congress of Mathematicians. - Berlin, 1998. - P. 171.

[24] Bezuglyi S. H-cocycles and ergodic actions of group extensions // Доповіді НАН України. - 1999. - № 9. - С. 21-26.

[25] Bezuglyi S. Groups of automorphisms of a measure space and weak equivalence of cocycles // In: Descriptive set theory and dynamical systems, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 277. - Cambridge University Press, 2000. P. 59-86.

[26] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. The topological full group of a Cantor minimal system is dense in the full group // Topological Methods in Nonlinear Analysis. - 2000. - V. 16. - P. 371-397.

[27] Bezuglyi S., Kwiatkowski J. Topologies on full groups and normalizers of Cantor minimal systems // Math. Physics , Analysis, and Geometry. - 2002. - V. 9, No.3. - P. 1-10.

[28] Bezuglyi S., Dajani K., Dooley A.H., Hamachi T. Isomorphic actions of group extensions on a measure space // Indag. Mathem., N.S. - 2004. - V. 15. - P. 167-188.

[29] Bezuglyi S., Medynets K. Smooth automorphisms and path-connectedness in Borel dynamics // Indag. Mathem., N.S. - 2004. - V. 15. - P. 453-468.

[30] Bezuglyi S., Dooley A.H., Medynets K. The Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set // Proceedings of AMS. - 2005. - V. 134. - P. 2957-2964.

[31] Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K. Approximation in ergodic theory, Borel, and Cantor dynamics // Contemporary Math. - 2005. - V. 385. - P. 39-64.

[32] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of Borel automorphisms of a standard Borel space // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. - 2006. - V. 27. - P. 333-385.

[33] Bezuglyi S., Dooley A.H., Kwiatkowski J. Topologies on the group of homeomorphisms of a Cantor set // Topol. Methods in Nonlinear Analysis. - 2006. - V. 27. - P. 299-331.