Динамічні процеси у надпровідних мікроструктурах - Автореферат

Квантові компютери - машини, що працюють за квантовими законами і зберігають інформацію у квантових змінних (кубітах). Для квантових компютерів були розроблені алгоритми квантових обчислень, які є суттєво швидшими порівняно з класичними, наприклад - алгоритм факторизації Шора і алгоритм пошуку Гровера у невпорядкованій базі даних. Для досягнення поставленої мети, у роботі необхідно було вирішити наступні завдання: 1) дослідити нерівноважну динаміку параметра порядку на беззіштовхувальному етапі еволюції збурень у надпровіднику за довільних початкових умов; Наукова новизна результатів дисертації визначається наступними положеннями: 1) Вперше досліджено нелінійну динаміку надпровідного параметра порядку на беззіштовхувальному етапі еволюції збурень у надпровіднику за довільних початкових умов. Наукове й практичне значення отриманих результатів полягає в наступному: 1) Теоретично описано динамічну поведінку надпровідного параметра порядку у надпровідниках за довільних початкових умов та при зміні у часі константи електрон-фононної взаємодії.

Основні результати дисертації опубліковані в 4 статтях в українських та закордонних рецензованих журналах [1-4] і в 6 збірниках матеріалів міжнародних конференцій [5-10].

Структура дисертаційної роботи.

Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку цитованої літератури, що містить 140 найменувань. Загальний обєм дисертації 91 сторінка, що включають 20 рисунків.

Зміст дисертації кубіт енергетичний сигнал

У вступі обґрунтована актуальність роботи, визначені її мета та методи досягнення, наукова новизна отриманих результатів, а також структура дисертації. Крім цього, охарактеризований особистий внесок здобувача, наведені відомості про апробацію результатів.

Перший розділ містить огляд наукової літератури за темою досліджень. У ньому обґрунтована необхідність вирішення ряду проблем, повязаних з поведінкою надпровідного параметра порядку на беззіштовхувальному етапі еволюції збурень у надпровідниках та з динамікою надпровідних кубітів під впливом різних керуючих сигналів, що раніше не вивчалися.

У другому розділі теоретично досліджено поведінку надпровідного параметра порядку на беззіштовхувальному етапі еволюції збурень у надпровіднику.

Розвязання задачі про динамічну поведінку параметра порядку засновано на отриманому в роботі квантовому кінетичному рівнянні для вігнерівської функції розподілу (ВФР), яка є квантовим аналогом функції розподілу Больцмана. Рівняння має вид: . (1)

Динамічне рівняння для ВФР розвязане шляхом зведення його до нелінійного рівняння Рікатті, яке, у свою чергу, розвязувалося за допомогою отриманого рекурентного виразу і, водночас, самоузгоджено з рівнянням для модуля параметра порядку.

У підрозділі 2.1 розвинуто метод опису надпровідного параметра порядку в рамках квантового кінетичного рівняння для вігнерівської функції розподілу. Виходячи з визначення функції розподілу через оператори Намбу у представленні Гейзенберга

, (2) і рівнянь руху для цих операторів, які мають вид: , (3) було отримане динамічне рівняння у формі (1). У разі однорідної надпровідної системи рівняння спрощувалося до виду

, (4) і далі зводилося до системи двох диференційних рівнянь для функцій та , які визначають компоненти матриці :

(5)

Ця система потребувала розвязання разом із рівнянням самоузгодження для параметра порядку . Тут - дебаєвська частота, - безрозмірна константа взаємодії, N(0) - густина електронних станів на рівні Фермі в розрахунку на 1 електрон і позначає кутові змінні, що повязані з вектором імпульсу.

У підрозділі 2.2 розглянуто загальну нелінійну задачу про еволюцію в часі початкового збурення параметра порядку, яке може суттєво відрізнятися від рівноважного значення. Так, наприклад, було розглянуто нестійкість нормального стану надпровідника при нульовій температурі і руйнування надпровідного стану за температури, більшої за критичну. Для аналізу динаміки параметра порядку використовувалася параметризація функцій і , згідно якої

(6)

При цьому задача (5) зводилася до розвязання нелінійного рівняння типу Рікатті , для якого було отримане наступне рекурентне співвідношення: . (7)

Використання виразу (7) разом із самоузгодженим рівнянням для дозволило отримати динамічні залежності параметра порядку при початковому його відхиленні від рівноважного значення (Рис. 1а), при зміні константи електрон-фононної взаємодії (Рис. 1б), та під час утворення та руйнування надпровідного стану за нульової температури і температури, більшої за критичну відповідно.

(а) (б)

Рис. 1. Беззіштовхувальна динаміка параметра порядку для початкового значення (а), та при зміні у часі константи електрон-фононної взаємодії (б)

У розділі 3 досліджено два основних типи збуджень у надпровідних кубітах - осциляції Рабі і збудження Ландау-Зенера. Розглядалася модель квантової дворівневої системи (кубіта), з гамільтоніаном , з відстанню між рівнями . В доданок вводився залежний від часу зовнішній вплив і гамільтоніан діагоналізувався в енергетичному представленні. Далі розвязувалося рівняння руху для матриці щільності виду

: , (8) яке приводило до системи повязаних диференційних рівнянь: , (9)

, (10)

. (11)

Обираючи відповідні параметри гамільтоніану, аналізувалися різні процеси збудження.

У підрозділі 3.1 в рамках отриманих рівнянь досліджувалися осциляції Рабі та процес збудження Ландау-Зенера у надпровідному джозефсонівському кубіті. У випадку осциляцій Рабі параметри зовнішнього періодичного сигналу задовольняли нерівності . При цьому розраховувалася заселеність верхнього енергетичного рівня (Рис. 2а). Для розгляду ефекту Ландау-Зенера співвідношення між амплітудою та частотою мало вигляд . При цьому розраховувалася вірогідність виявлення струму у кільці (для потокового кубіту), що тече за часовою стрілкою . Після чисельного розрахунку ми отримали результати, наведені на Рис. 2. Для осциляцій Рабі була отримана відома залежність коливань заселеності рівнів, у випадку збудження Ландау-Зенера була отримана динамічна залежність вірогідності (Рис. 2б), яка співпадає з відомою формулою Ландау-Зенера для великих значень часу.

Далі шляхом побудови залежностей середніх вірогідностей і від фази вперше був показаний перехід від багатофотонних резонансів Рабі до інтерференції між одиночними переходами Ландау-Зенера.

(а) (б)

Рис. 2. Вірогідності і для осциляцій Рабі (а) і збуджень Ландау-Зенера (б) відповідно

У підрозділі 3.2 в межах формалізму матриці щільності розраховано середню у часі заселеність верхнього (збудженого) рівня зарядового кубіта як функцію контрольованих параметрів кубіта при його збудженні періодичним сигналом.

У підрозділі 3.3 детально досліджено особливості збудження потокового кубіту сигналами спеціальної форми, які допускають точне розвязання рівняння Шредінгера для дворівневої системи. Приклад такого сигналу:

(12)

Сигнали були отриманні за допомогою одно - та двократних перетворень Дарбу. Для них аналітично були розраховані залежності вірогідності виявлення струму у кільці (у випадку потокового кубіту), що тече за часовою стрілкою, від часу, і середні вірогідності як функції параметра . При цьому було показано, що існують такі співвідношення між і , для яких зникають осциляції вірогідності і вона стає монотонною функцією часу. Для сигнала виду це значення є , і відповідно для даного і мають вигляд: , (13)

. (14)

Графіки залежностей наведені на Рис. 3, при цьому для показано два випадки різних значень ( - суцільна лінія і - лінія з крапок), а для вірогідності побудовані залежності з урахуванням фазової та енергетичної релаксації ( (суцільна лінія), (штрих пунктирна лінія), (лінія з крапок)).

(а) (б)

Рис. 3. Залежності вірогідності протікання струму у кільці кубіта за годинниковою стрілкою від часу (а) і середньої вірогідності від параметра (б)

У результаті дослідження показана можливість отримання інверсної заселеності ( ) у потоковому кубіті, тобто, що важливо, у ефективно дворівневій системі, на відміну від відомих методів отримання інверсної заселеності в трирівневих системах.

У четвертому розділі вивчена поведінка надпровідного потокового кубіту, який повязаний з резонансним контуром і збуджуваний сигналом у вигляді серії прямокутних електромагнітних імпульсів. Для такого кубіта базовими станами є стани з током у кільці, що тече за чи проти годинникової стрілки. Станом потокового кубіту керують, змінюючи магнітний потік через кільце. Змінний у часі потік моделювався у вигляді серії імпульсів с амплітудою : , (15)

, , тут - тривалість імпульсу, а - відстань між ними, - тета-функція. Для довільних параметрів розвязувалося рівняння (8), потім розраховувався зсув фази між током і напругою в контурі згідно виразу: . (16)

Також був розглянутий випадок , який дозволяє отримати аналітичні рішення рівнянь (9) - (11), і отримати звязок зсуву фази з константами релаксації в аналітичному вигляді. Після розвязання рівнянь та усереднення рішень отримана залежність добавки до у основному стані від добутку константи енергетичної релаксації та затримки між імпульсами у серії:

. (17)

Графік добавки до основного стану у точці як функція добутку наведений на Рис. 4.

Рис. 4. Добавка до основного стану у точці як функція добутку

У висновках викладені основні наукові результати дисертації.

Висновки

1. Розвинуто метод опису беззіштовхувальної динаміки параметра порядку у надпровіднику, який базується на отриманому квантовому кінетичному рівнянні для функції розподілу Вігнера. Отримані осцилюючі залежності параметра порядку за довільних нерівноважних початкових умов. Досліджено відгук надпровідного параметра порядку на зміну в часі константи електрон-фононної взаємодії.

2. Розглянуті два основних типи збуджень у надпровідних кубітах - осциляції Рабі та збудження Ландау-Зенера. Вперше показаний перехід між цими типами збуджень. Розрахована середня у часі заселеність енергетичних рівнів кубіта як функція контрольованих параметрів зовнішнього сигналу.

3. Розраховані середні у часі заселеності рівнів потокового кубіту при його збудженні сигналами спеціального виду, розглянуто вплив релаксаційних процесів на ці заселеності. Показана можливість отримання інверсної заселеності у кубіті при впливі на нього магнітного потоку, що змінюється у часі особливим чином.

4. Теоретично досліджено динаміку надпровідного потокового кубіту під впливом магнітного потоку у вигляді серії прямокутних електромагнітних імпульсів. Показано, що відгук резонансного контуру, що повязаний з кубітом, суттєво залежить від співвідношення між константами релаксації та затримкою у часі між окремими імпульсами. Отримано аналітичний вираз для визначення константи енергетичної релаксації з експериментальних вимірів зсуву фази між током і напругою в контурі.

Список опублікованих здобувачем праць з теми дисертації

1. Amin M.S.H. Wigner distribution function formalism for superconductors and collisionless dynamics of the superconducting order parameter. / M.S.H. Amin, E.V. Bezuglyi, A.S. Kijko, A.N. Omelyanchouk. // Fiz. Nizk. Temp. - 2004. - Т.30, №7-8 - с. 661-666.

2. Shevchenko S.N. Dynamic behaviour of Josephson-junction qubits: crossover between Rabi oscillations and Landau-Zener transitions. / S.N. Shevchenko, A.S. Kiyko, A.N. Omelyanchouk, W. Krech. // Fiz. Nizk. Temp - 2005. - Т.31, №7 - с. 752-760.

3. Kiyko A.S. Dynamic behaviour of superconducting flux qubit excited by the series of electromagnetic pulses. / A.S. Kiyko, A.N. Omelyanchouk, S.N. Shevchenko. // Fiz. Nizk. Temp - 2007. - Т.33, №12 - с. 1338-1341.

4. Шамшутдинова В.В. Динамика сверхпроводящих кубитов с точно решаемыми управляющими импульсами. / В.В. Шамшутдинова, А.С. Кийко, С.Н. Шевченко и др. // Известия Вузов. Физика. - 2008. - №6 - c. 25-32.

5. Kiyko A.S. Dynamic behavior of Josephson qubits: from Rabi oscillations to Landau-Zener transitions. / A.S. Kiyko // Тезисы международной школы «6-th Scenet School on «Superconducting materials and applications»» - Turku (Finland) - 2005 - p. 47.

6. Kiyko A.S. Probing entanglement in the system of coupled Josephson qubits. / A.S. Kiyko, A.N. Omelyanchouk, S.N. Shevchenko // Proceedings of the International Symposium «Mesoscopic superconductivity and spintronics» - Kanagawa (Japan) - 2006 - p. 53-58.

7. Kiyko A.S. Formation and time evolution of entanglement in the system of coupled Josephson qubits. / A.S. Kiyko, A.N. Omelyanchouk, S.N. Shevchenko // Тезисы международной конференции «Condensed Matter: Theory &Applications» - Харьков (Украина) - 2006, с. 120.

8. Кійко А.С. Динамічна поведінка надпровідного кубіта, який збуджується серією ел.-магнітних імпульсів./ А.С. Кійко, О.М. Омельянчук, С.М. Шевченко // Тезисы международной конференции студентов и молодых ученых «ЭВРИКА - 2007» - Львов (Украина) - 2007, с. А3.

9. Кийко А.С. Резонансное возбуждение сверхпроводящих кубитов. / А.С. Кийко, А.Н. Омельянчук, С.Н. Шевченко // Тезисы 8-ой межнародной конференции «Фізичні явища в твердих тілах» - Харьков (Украина) - 2007, с. 35.

10. Kiyko A.S. Dynamics of superconducting flux qubit under different external bias. / A.S. Kiyko, A.N. Omelyanchouk, B.F. Samsonov, V.V. Shamshutdinova, S.N. Shevchenko // Тезисы международной конференции молодых учених и аспирантов «IEF 2009» - Ужгород (Украина) - 2009, с. 29.

Размещено на .ru