Теорема о существовании единственности решения дифференциальных уравнений различных порядка с разделяющимися переменными. Решение систем с постоянными коэффициентами. Линейно независимые и зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства.
Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и ее производные называется дифференциальным уравнением. Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=?(x;c), где (с-const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Дано дифференциальное уравнение 1 порядка и функция f(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М0(х0;y0) D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x0)=y0 , то существует единственное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям: Замечание: для дифференциальных уравнений 2 порядка начальные условия имеют вид: Решить дифференциальное уравнение порядка n означает: 1)Найти общее решение (общий интеграл) Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2 порядка является функция , такая что: 1) при любых значениях с1 и с2 эта функция - решение.
Введение
При изучении некоторых явлений часто возникает ситуация, когда процесс не удается описать с помощью уравнения y=f(x) или F(x;y)=0. Помимо переменной х и неизвестной функции , в уравнение входит производная этой функции.
Определение: Уравнение, связывающее переменную х, неизвестную функцию y(x) и ее производные называется дифференциальным уравнением. В общем виде дифференциальное уравнение выглядит так: F(x;y(x); ; ;...;y(n))=0
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в него старшей производной.
- дифференциальное уравнение 1 порядка
- дифференциальное уравнение 3 порядка
Определение: Решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
1. Дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение: Уравнение вида =f(x;y) или F(x;y; )=0 называется дифференциальным уравнением 1 порядка.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения 1 порядка называется функция y=?(x;c), где (с -const), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Геометрически на плоскости общим решением соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от параметра с.
Определение: Интегральная кривая, проходящая через точку плоскости с координатами (х0;y0) соответствует частному решению дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию: y(x0)=y0
Примеры: 2. Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
Дано дифференциальное уравнение 1 порядка и функция f(x;y) непрерывна вместе с частными производными в некоторой области D плоскости XOY, тогда через точку М0(х0;y0) D проходит единственная кривая соответствующая частному решению дифференциального уравнения соответствующему начальному условию y(x0)=y0
Через точку плоскости с данными координатами проходит 1 интегральная кривая.
Если не удается получить общее решение дифференциального уравнения 1 порядка в явном виде, т.е , то его можно получить в неявном виде:
F(x; y; c) =0 - неявный вид
Общее решение в таком виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
По отношению к дифференциальному уравнению 1 порядка ставится 2 задачи: 1)Найти общее решение (общий интеграл)
2)Найти частное решение (частный интеграл) удовлетворяющее заданному начальному условию. Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида: называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Подставим
умножим на dx разделим на
Замечание: обязательно нужно рассматривать частный случай, когда переменные разделены проинтегрируем обе части уравнения
- общее решение
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными можно записать в виде:
Отдельный случай !
Проинтегрируем обе части уравнения:
Примеры: 1)
2) нач. условия:
4. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
Определение: Функция называется однородной порядка n, если Пример: - однородная функция порядка n=2
Т.к
Определение: Однородная функция порядка 0 называется однородной.
Определение: Дифференциальное уравнение называется однородным, если - однородная функция, т.е
Заменим
Таким образом однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде:
С помощью замены , где t - функция переменной х, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Замена
- подставим в уравнение
Переменные разделены, проинтегрируем обе части уравнения
Сделаем обратную замену, подставив вместо , получим общее решение в неявном виде.
Пример:
Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в дифференциальной форме.
M(x;y)dx N(x;y)dy=0, где M(x;y) и N(x;y) - однородные функции одинакового порядка.
Разделим на dx и выразим
Пример: 5. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
Линейные дифференциальные уравнения это вида , где P(x), Q(x) - непрерывные функции. и входят в уравнение линейно, т.е не перемножаются между собой.
Сделаем замену:
Приравняем скобку к 0 подставим
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
константу интегрирования не прибавляем, т.к достаточно одного частного решения.
Выразим явно
Подставим в (*)
Выразим
Т.к , то проинтегрируем обе части последнего уравнения по х
Общее решение линейного уравнения: - всегда получается в явном виде.
1)
2) y(1)=2
6. Уравнения Бернулли
, где ;1
Решаются такие уравнения так же как и линейные
Замена
Явно
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
выразим явно u и найдем общее решение
Примеры: 7. Дифференциальные уравнения высших порядков
Определение: Дифференциальное уравнение порядка n называется уравнение вида:
уравнение вида: - называется уравнением разрешенным относительно старшей производной. Для такого уравнения справедлива теорема Коши.
Теорема Коши.
Если функция в (*) непрерывна вместе с частными производными: в области содержащей значения
, то существует единственное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:
Замечание: для дифференциальных уравнений 2 порядка начальные условия имеют вид:
Решить дифференциальное уравнение порядка n означает: 1)Найти общее решение (общий интеграл)
2)Найти частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее заданным условиям.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения 2 порядка является функция , такая что: 1) при любых значениях с1 и с2 эта функция - решение.
2) каковы бы ни были начальные условия на области, в которой выполняется теорема Коши всегда можно подобрать значения с1 и с2 удовлетворяющие начальным условиям.
Определение: Частным решением дифференциального уравнения 2 порядка является решение, при конкретных значениях с1 и с2.
Замечание: общее решение дифференциального уравнения 2 порядка может быть получено в неявном виде: 8. Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка
1) Уравнения вида: уравнение решается двукратным интегрированием по переменной х.
Проинтегрируем 1 раз по х.
Проинтегрируем 2 раз по х общее решение.
Замечание: для дифференциального уравнения порядка n: - интегрировать нужно n раз.
Примеры:
2) Дифференциальные уравнения, не содержащие явно y.
сделаем обратную замену проинтегрируем обе части по х - общее решение
Пример: 3) Дифференциальные уравнения 2 порядка не содержащие явно х.
- нет явно х.
Замена: у-новая переменная
- новая функция
- ее производная
Подставим замену в исходное уравнение получим дифференциальное уравнение 1 порядка: - его решение
Сделаем обратную замену -
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
; - общее решение (вид неявный)
Примеры: 1.
2.
9. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, где а0,а1,…an-функции переменной х или константы, причем а0,а1,…an и f(x) считаются непрерывными.
Если а0=1(если то на него можно разделить) уравнение примет вид:
Если уравнение неоднородное. уравнение однородное.
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
Уравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядка n.
Для этих уравнений справедливы следующие теоремы: Теорема 1: Если - решение , то сумма - тоже решение
Доказательство: подставим сумму в
Т.к. производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся, раскрыв скобки:
т.к. y1 и y2 - решение.
0=0(верно) сумма тоже решение. теорема доказана.
Теорема 2: Если y0-решение , то - тоже решение .
Доказательство: Подставим в уравнение т.к. С выносится за знак производной, то т.к решение, 0=0(верно) Су0-тоже решение. теорема доказана.
Следствие из Т1 и Т2: если - решения (*) линейеая комбинация -тоже решение (*).
11. Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
Определение: Система функций - называется линейно независимой , если линейная комбинация коэффициенты .
Определение: Систему функций - называют линейно зависимой, если и есть коэффициенты .
Возьмем систему двух линейно зависимых функций т.к или - условие линейной независимости двух функций.
Примеры: 1) линейно независимы
2) линейно зависимы
3) линейно зависимы
Определение: Дана система функций - функций переменной х.
Определитель - определитель Вронского для системы функций .
Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:
Свойства определителя Вронского: 1) Если - линейно зависимы на [a;b] на этом отрезке.
2) Если - линейно независимые, решения дифференциального уравнения при любых значениях х в области, где определены функции а1…an Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.
Если y1 и y2 - линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то общее решение имеет вид:
Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.
Если даны начальные условия то и должны находится однозначно.
- начальные условия.
Составим систему для нахождения и . Для этого подставим начальные условия в общее решение.
определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х0 т. к и линейно независимы (по 20) т. к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и и находятся из системы однозначно.
12. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
(*)
Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений
Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется фундаментальной системой решения.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n, т.е (*) - линейная комбинация фундаментальной системы решений: , где - фундаментальная система решения.
13. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида: , где p и g - числа(*)
Определение: Уравнение - называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) - обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи: 1)D>0 - два действительных различных решения.
2)D=0 - один действительный корень кратности 2.
3)D<0 - два комплексно сопряженных корня.
Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и .
Будем показывать, что: 1) и - ЛНЗ
2) и - решение (*)
Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.
Характеристическое уравнение: В качестве ФСР возьмем: а) покажем ЛНЗ
б) покажем, что - решение (*), подставим
p g =0 верное равенство решение (*) аналогично показывается для y2.
комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.
- будем использовать.
Покажем, что - образуют ФСР.
А)ЛНЗ: Б) - решение ДУ
верное равенство - решение ДУ.
Аналогично показывается, что тоже решение.
Вывод: ФСР: Общее решение: Пример:
Если заданы н.у.
- то сначала находят общее решение , его производную: , а потом в эту систему подставляют н.у и находят и .
Пример: Н.у: 14. Линейные однородные ДУ порядка n с постоянными коэффициентами
Это уравнения вида: , где аі - числа.
Характеристическое уравнение будет иметь вид: Слева стоит многочлен степени n, который имеет n корней с учетом их кратности и комплексности, следовательно, ФСР будет состоять из n решений: 1) Каждому простому корню характеристического уравнения , (имеющему кратность 1) ставится в соответствие
2) Каждому действительному корню кратности r ставится в соответствие r решений:
3) Каждой паре комплексно сопряженных корней 2 фундаментальных решения: 4) Если пара комплексно сопряженных корней имеет кратность 2 и выше, то ФСР строятся аналогично 2 случаю.
Общее решение уравнения - линейная комбинация фундаментальных решений
Основная трудность состоит в том, чтобы правильно решить характеристическое уравнение.
Пример:
15. Линейные неоднородные ДУ
Это уравнения вида: Теорема об общем решении ДУ: Общее решение ДУ(*) имеет вид: , где - общее решение соответствующего однородного уравнения.
Доказательство: подставим в раскроем скобки и перегруппируемся:
Если даны н.у нужно показать, что все константы находятся однозначно
, где ФСР
Продифференцируем нужное количество раз и подставим н.у получим систему n-линейных уравнений с n неизвестными . Определитель этой системы
- определитель Вронского системы функций .
Т.к - ФСР линейная система имеет единственное решение и все константы находятся однозначно.
Конец доказательства.
Замечание: Общее решение соответствующего однородного уравнения
- линейная комбинация ФСР - известно
Основная трудность нахождения уч - решения неоднородного уравнения.
16. Линейные неоднородные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Рассм. ДУ
Общее решение такого уравнения: , где
ФСР - уже рассматривали
Укажем метод нахождения частного решения неоднородного уравнения
, если f(x) имеет специальный вид.
Рассмотрим следующие случаи: I. , где - многочлен степени n. а) - не корень характеристического уравнения
, где - многочлен степени n с неопределенными буквенными коэффициентами. Подставим в ДУ и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях найдем все буквы. б) - корень характеристического уравнения кратности 1
II. , где M, N числа a) не корень характеристического уравнения неопределенные коэффициенты. Подставив в ДУ и приравняв коэффициенты при находим А и В б) корень характеристического уравнения кратности 1
Замечание: Если в правой части есть только или в частном решении должны быть и sin и cos , т.е тригонометрия должна быть полной.
III.
Где , -многочлены степеней m и n a) не корень характеристического уравнения многочлены степени к с неопределенными коэффициентами б) корень характеристического уравнения
17. Метод вариации
Рассмотрим ДУ: Где правая часть f(x) произвольного вида (необязательно специального).
Общее решение соответствующего однородного уравнения: , где и - произвольные const, - ФСР.
Будем варьировать и и считать, что и зависит от х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения (исходного) в виде:
(*)
объединим и в систему
- эта система для нахождения и имеет единственное решение, т.к определитель системы , для системы 2-х ЛНЗ надежнее решать систему по формулам Крамера
, где
, где решая систему получим и , проинтегрируем полученные функции по переменной х.
- проинтегрируем по х
, где А и В - константы интегрирования
Таким образом общее решение неоднородного уравнения:
Пример:
18. Решение систем линейных ДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
Рассмотрим систему ДУ
, где a,b,c,d - числа.
- искомая функция - функции переменной х продифференцируем по переменной х первое уравнение системы: теорема дифференциальный уравнение вронский
Дифф.(1)
Подставим из (2) подставим из (1) перенесем слагаемые с и налево получим линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение получим , продифференцируем и найдем .
Пример: 1) начальные условия: .
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
