Дифференциальные уравнения в частных производных - Курсовая работа

Дифференциальные уравнения в частных производных (общеупотребительно сокращение ДУЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) - дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия). Уравнения, линейные относительно старших производных, называются квазилинейными. Уравнение является неоднородным, если в нем есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций, при его отсутствии уравнение называется однородным. Линейное уравнение второго порядка, зависящее от двух независимых переменных имеет вид: , (1.1) где Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы, параболы и гиперболы, в зависимости от знака дискриминанта D = - AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке: - гиперболическое уравнение, (1.3)Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара - Линделефа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение. Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)).Однородное волновое уравнение - дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее пространственный процесс распространения возмущений в некоторой среде: , (3.1) где - пространственные переменные, t - время, - искомая функция, характеризующая возмущение в точке в момент t, - скорость распространения возмущения (волновая скорость). Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов. Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведенных (простейших) уравнений.Уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (покоящихся газах, жидкостях и твердых телах), это одно из основных уравнений математической теории. Уравнение теплопроводности выражает тепловой баланс для малого элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объема впоследствии теплопроводности.Уравнение Пуассона - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает: · электростатическое поле, · стационарное поле температуры, · поле давления, · поле потенциала скорости в гидродинамике. В трехмерной декартовой системе координат уравнение в частности принимает форму: (3.6) или , (3.7) где - оператор Гамильтона ("набла").Начальные и граничные условия (НУ и ГУ) - дополнение к основному дифференциальному уравнению, задающее его поведение в начальный момент времени и на границе рассматриваемой области соответственно. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач. В то же время для уравнений математической физики, описывающих стационарные явления, таких как уравнения Лапласа и Пуассона, ставятся лишь краевые задачи, так как возмущающие (внешние) силы в этом случае, во времени не изменяются, а для анализа стационарной системы нужно знать поведение искомой функции на границе области решения. задан поток u через границу Г , n - вектор внешней нормали границы, если f(t) = , то это означает непроницаемость на границе;Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид: , (4.1) где u(t,x) - температура, и a - коэффициент температуропроводности - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла.Дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания струны, имеет вид: .При постановке краевой задачи для уравнения (4.8) его необходимо дополнить граничными условиями.Существует два вида методов решения УМФ: · аналитические, когда результат выводится различными математическими преобразованиями;Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в нуль (струна закреплена на концах): . В начальный момент времени зададим начальные условия: ; (5.2) Представим решение в виде: . Правая часть этого уравнения зависит от t, левая - от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны пос

Оглавление

Введение

1. Классификация

2. Существование и единственность решения

3. Основные уравнения математической физики

3.1 Волновое уравнение

3.2 Уравнение теплопроводности

3.3 Уравнения Пуассона и Лапласа

3.4 Начальные и граничные условия

4. Примеры задач для УМФ

4.1 Одномерное уравнение теплопроводности

4.2 Уравнение колебаний струны

4.3 Двумерное уравнение Лапласа

5. Решение уравнений математической физики

5.1 Аналитическое решение

5.2 Численное решение

Заключение

Литература

Дифференциальные уравнения в частных производных (общеупотребительно сокращение ДУЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) - дифференциальные уравнения, содержащие неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если u и v - два решения, то функция при любых постоянных ? и снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным способом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.