Рассмотрение линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Методы вариации постоянной, использование интегрирующего множителя. Порядок приведения уравнения Риккати к формуле Бернулли. Выявление проблем в применении дифференциального исчисления.
Аннотация к работе
Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции. В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли.Дифференциальным уравнением, называется уравнение связывающее независимую переменную х, некую искомую у(х) и ее производные y’, y’’, y’’’, …, yn, т.е. выражение вида: F (x, y, y’, y’’, y’’’, yn) = 0 С определением линейных дифференциальных уравнений I порядка связывают еще несколько важных определений, играющих важную роль при решении этих уравнений: Дифференциальное уравнение, в котором искомая функция зависит только от одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция y = ?(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество. Функция ? = ?(x,y) ?0 после умножения, на которую дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах, называется интегральным множителем. Приведем примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной: Решение таким методом, в общем виде выглядит так: Дано уравнение: y" P(x)y = Q(x) y" P(x)y = 0 y’ =-P(x)yПредположим, что левая часть уравнения не является полным дифференциалом. Чтобы привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах найдем функцию ?(х,у) такую, что при умножении не левую часть уравнения мы получим уравнение в полных дифференциалах: ?(х,у)( M(x,y)dx N(x,y)dy) = du Выделим полные дифференциалы в обеих частях: = Интегрирующий множитель этого уравнения будем искать в виде ? = ?(х), получив выражение вида: (?(x2 3z)) (?x) = 0 =>, что 4? x?’ = 0 Разделив исходное уравнение с заменой на х4, получим уравнение в полных дифференциалах: (1/x2 3z/x4)dx = dz/x3Обыкновенное дифференциальное уравнение вида: Y’ P(x)y = Q(x)yn, n ? 0,1, (1) называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 получаем честный случай уравнение Риккати. Чтобы решить уравнение Бернулли, т.е. уравнение (1), надо разделить обе его части разделить на yn и сделать замену 1/yn - 1 = z.Однако, зная частное решение уравнения Риккати, мы можем его свести к уравнению Бернулли, т.е. сделать его линейным. Получили уравнение Бернулли, далее решаем его как линейное дифференциальное уравнение I порядка по предложенным выше методам. Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = axm: ax2mxm-1 axxm a2x2x2m = 4 Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = ax b. Это уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = - => y’ = a/x2.Пусть дано уравнение: y’ P(x)y = Q(x)yn; n ? 0,1. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения сделаем замену y = uv: u’v v’u uv =-e2xu2v2 u’v u(v’ v) =-e2xu2v2 Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение: =-v Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение:-du/ u2 = exdxВ результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения, уравнения Бернулли, и рассмотрены на практике линейные дифференциальные уравнения. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.
План
Оглавление
Введение
Глава I. Линейные дифференциальные уравнения I порядка
1.1 Метод вариации постоянной
1.2 Использование интегрирующего множителя
Глава II. Уравнение Бернулли
2.1 Приведение уравнений Риккати к уравнению Бернулли
2.2 Использование замены вида y = uv
Заключение
Список литературы и источников
Введение
Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции.
В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница ; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.
Целью работы является закрепить полученные знания по курсу дифференциальных уравнений, как в теории, так и на практике.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, в каждой по два параграфа, заключения и списка использованной литературы и источников.
Вывод
В результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения, уравнения Бернулли, и рассмотрены на практике линейные дифференциальные уравнения.
Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи: 1. Дала понятие дифференциального уравнения и исследовала общие сведения о нем.
2. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.
4. Выявила проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка.
К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык.
Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения - с уравнения первого порядка.
Список литературы
1. В.И. Смирнов «Курс высшей математики», том 2.
2. А.Ф. Филипов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям».