Дифференциальные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли - Курсовая работа

Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции. В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли.Дифференциальным уравнением, называется уравнение связывающее независимую переменную х, некую искомую у(х) и ее производные y’, y’’, y’’’, …, yn, т.е. выражение вида: F (x, y, y’, y’’, y’’’, yn) = 0 С определением линейных дифференциальных уравнений I порядка связывают еще несколько важных определений, играющих важную роль при решении этих уравнений: Дифференциальное уравнение, в котором искомая функция зависит только от одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется функция y = ?(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в верное тождество. Функция ? = ?(x,y) ?0 после умножения, на которую дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах, называется интегральным множителем. Приведем примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом вариации постоянной: Решение таким методом, в общем виде выглядит так: Дано уравнение: y" P(x)y = Q(x) y" P(x)y = 0 y’ =-P(x)yПредположим, что левая часть уравнения не является полным дифференциалом. Чтобы привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах найдем функцию ?(х,у) такую, что при умножении не левую часть уравнения мы получим уравнение в полных дифференциалах: ?(х,у)( M(x,y)dx N(x,y)dy) = du Выделим полные дифференциалы в обеих частях: = Интегрирующий множитель этого уравнения будем искать в виде ? = ?(х), получив выражение вида: (?(x2 3z)) (?x) = 0 =>, что 4? x?’ = 0 Разделив исходное уравнение с заменой на х4, получим уравнение в полных дифференциалах: (1/x2 3z/x4)dx = dz/x3Обыкновенное дифференциальное уравнение вида: Y’ P(x)y = Q(x)yn, n ? 0,1, (1) называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 получаем честный случай уравнение Риккати. Чтобы решить уравнение Бернулли, т.е. уравнение (1), надо разделить обе его части разделить на yn и сделать замену 1/yn - 1 = z.Однако, зная частное решение уравнения Риккати, мы можем его свести к уравнению Бернулли, т.е. сделать его линейным. Получили уравнение Бернулли, далее решаем его как линейное дифференциальное уравнение I порядка по предложенным выше методам. Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = axm: ax2mxm-1 axxm a2x2x2m = 4 Уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = ax b. Это уравнение является уравнением Риккати, найдем его частное решение в виде y = - => y’ = a/x2.Пусть дано уравнение: y’ P(x)y = Q(x)yn; n ? 0,1. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения сделаем замену y = uv: u’v v’u uv =-e2xu2v2 u’v u(v’ v) =-e2xu2v2 Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение: =-v Разделим переменные и проинтегрируем данное уравнение:-du/ u2 = exdxВ результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения, уравнения Бернулли, и рассмотрены на практике линейные дифференциальные уравнения. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Оглавление

Введение

Глава I. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

1.1 Метод вариации постоянной

1.2 Использование интегрирующего множителя

Глава II. Уравнение Бернулли

2.1 Приведение уравнений Риккати к уравнению Бернулли

2.2 Использование замены вида y = uv

Заключение

Список литературы и источников

Большинство законов природы записываются в форме соотношений устанавливающих связь между искомой функцией, независимой переменной и производными этой функции.

В данной курсовой работе мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнение Бернулли. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница ; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Целью работы является закрепить полученные знания по курсу дифференциальных уравнений, как в теории, так и на практике.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, в каждой по два параграфа, заключения и списка использованной литературы и источников.

В результате написания курсовой работы мною было определено понятие дифференциального уравнения, уравнения Бернулли, и рассмотрены на практике линейные дифференциальные уравнения.

Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи: 1. Дала понятие дифференциального уравнения и исследовала общие сведения о нем.

2. Рассмотрела дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Изучила методы решений дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Выявила проблемы в применении дифференциальных уравнений первого порядка.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные задачи не только из физики, но и из экономики, статистики и других наук. Основную трудность при решении таких задач представляет составление самих дифференциальных уравнений. Здесь нет универсального метода. Каждая задача требует индивидуального подхода, основанного на глубоком понимании соответствующих законов и умении переводить эти задачи на математический язык.

Для решения таких проблем необходимо всестороннее и глубокое изучение теории дифференциальных уравнений, причем начинать следует с наиболее простого уравнения - с уравнения первого порядка.

1. В.И. Смирнов «Курс высшей математики», том 2.

2. А.Ф. Филипов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям».

3. М.В. Федорюк «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

4. Так же некоторые примеры были взяты из источников без названия.

Размещено на .ru