Дифференциальные уравнения 1 порядка - Курсовая работа

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение ее производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые ее производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и ее производных (или дифференциалов): ; (1) Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = ex x обращает уравнение: y(4) - y x = 0 в тождество на всей числовой оси y(4)(x) = ex; Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку.Так называются уравнения вида удовлетворяющие начальному условию f(x) dx g(y) dy = 0; (10) Интегрируя это тождество, получим общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x0 и y0, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)2 13 = 2 C = 2.Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделенными переменными: Записываем уравнение (11) в форме Интегрируя, получим общие интегралы: В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному. Если функция f2(x) имеет действительные корни x1, x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения. В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нем; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коша. Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решенной относительно производной, , то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коша на правую часть уравнения).Решить дифференциальное уравнение у’=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, xn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, yn, что уі=F(xi) (i=1,2,…, n) и F(x0)=y0, (14) Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.Формально, методом Рунге - Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Классический метод Рунге - Кутта 4 порядка: Метод Рунге - Кутта 4 порядка столь широко распространен, что его часто называют просто методом Рунге - Кутта.Метод Адамса - разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближенных значений решения в начальных точках. Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y" = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. Задавшись некоторым шагом изменения аргумента h, находят каким-либо способом, исходя из начальных данных y(x0) = y0, следующие три значении искомой функции y(x): , , (эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную точность: с помощью разложения решения в степенной ряд.(Упражнения из "Высшая математика в

Содержание

Введение

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1 Геометрический смысл уравнения первого порядка

2.2 Задача Коша (задача с начальным условием)

2.3 Уравнения с разделенными переменными

2.4 Уравнения с разделяющимися переменными

3. Метод Эйлера

4. Метод Рунге-Кутта

5. Метод Адамса

6. Примеры

Список литературы

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение ее производных различных порядков в той же точке.

Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые ее производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения - наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y"(x),y""(x),...,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.