Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом - Курсовая работа

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V R, определяемую равенством По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство и Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем.

Содержание

Введение

Отражающая функция

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий

Общее решение

Заключение

Список использованных источников

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так: Пусть первый интеграл системы , (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , , (2). И если, кроме того , где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(1) считая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства: 1.) для любого решения системы (1) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных и начальному условию

Рассмотрим систему (1*) считая, что ее правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами: 1) отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция которая совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему = (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V R, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x(t)) t .

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:G R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U (t справедливое при всех значениях t и x(t ). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство и Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой будем рассматривать множество возмущенных систем где непрерывная скалярная нечетная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

Если вектор-функция, а вектор-столбец, то полагаем

, Лемма 1.

Для любых трех вектор-функций из которых функция дважды непрерывно дифференцируема, а функции и дифференцируемы, имеет место тождество

Лемма 2.

Пусть отражающая функция системы с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции функция удовлетворяет тождеству

Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придем к соотношению

Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение придем к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция является решением дифференциального уравнения в частных производных

Тогда возмущенная дифференциальная система

, где - произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

Для этого введем функцию по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учетом соотношения это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция является решением задачи Коши

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция системы является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - в силу того, что для отражающей функции системы верно тождество , второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество выполняется и функция является отражающей функцией системы . Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

Рассмотрим систему в которой непрерывные и периодические функции , таковы, что и - нечетные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь и , , .

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения , рассматриваемой системы, начинающиеся при на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

, (1)

, , , (2) где - непрерывная скалярная нечетная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечетной функции , определенной в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечетная функция, то и при

Лемма 2

Пусть есть первый интеграл системы . Тогда есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к. есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть - отражающая функция системы и удовлетворяет следующему соотношению (3)

Тогда система эквивалентна системе в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку отражающая функция системы , то (4). Рассмотрим выражение

(равно т.к. отражающая функция системы ) (равно по ) (4) означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем и отражающие функции совпадают, то системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введем такие обозначения и - семейства функций, являющиеся решениями систем и , соответственно и - решение систем и соответственно.

Лемма 4

Пусть первый интеграл системы . Если выполнено соотношение (5), где некоторая функция, то есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесем все в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции в силу системы равна , а это означает, что есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5. Если удовлетворяет следующему уравнению в частных производных: (6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим: (7)

Так как - первый интеграл системы (1), то (8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом, удовлетворяет теореме 1 (если удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того (9), где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдем производную в силу системы (2) и обозначим ее (*).

Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1), (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование вытекает из леммы 2.

Лемма

Пусть системы и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть их отражающая функция и пусть есть первый интеграл системы , тогда U , , и .

Доказательство. Возьмем произвольное решение системы . Покажем, что на нем U обращается в постоянную.

Действительно, т. к. отражающая функция, то . По определению функции и т. к. первый интеграл системы , то U .

То, что U очевидно. Действительно, возьмем любую функцию . Обозначим по свойству отражающей функции .

Обозначим , так как только функциям из сопоставляет функции из , то и по определению первого интеграла U отлична от и обращается в только вдоль решений системы . А это и означает, что U - первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма дает понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущенной и не возмущенной систем.

В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.

Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. - Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 - 51 с.

2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 - 19 с.

3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.