Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
Теперь найдем наклонные асимптоты. Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: . Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
План
Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
Введение
1. Вычислить предел: .
Решение.
При имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты функции: .
Решение.
Очевидно, что функция не определена при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, - вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, - наклонная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы: при .
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
x -3 0
-0 0 убываетminвозрастаетвозрастаетвозрастает
Отсюда следует, что функция возрастает при , убывает при .
Точка - локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
. x -2 1
-0-0 вогнутаяперегибвыпуклаяперегибвогнутая
Отсюда следует, что функция выпуклая при , вогнутая при .
Точки , - точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как .
3) Теперь найдем точки пересечения с осями: а) с ох: , б) с oy .
4) Теперь найдем асимптоты. а)
А значит, является вертикальной асимптотой. б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что является наклонной асимптотой при .
5) Теперь найдем критические точки не существует при .
6) не существует при x 0 2 4
0-Не сущ.-0
---Не сущ. y возрастает выпуклая max убывает выпуклаяне сущ.убывает вогнутаяmin возрастает вогнутая
Построим эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции .
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую точку: . Исследуем ее.
Далее проведем исследование этой точки.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки :
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Это означает, что точек экстремума у функции нет.
3. Определить экстремумы функции , если .
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
(Учитываем, что по условию )
То есть мы получили четыре критические точки.
В силу условия нам подходит только первая .
Исследуем эту точку.
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
.
Для точки
Далее получаем
То есть мы получили отрицательно определенную квадратичную форму.
Следовательно, - точка условного локального максимума.
.
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1-3. Найти неопределенный интеграл
1. .
Решение.
.
2. .
Решение.
.
3.
Решение.
.
4. Вычислить .
Решение.
.
5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми
.
Решение.
.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
