Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью - Дипломная работа

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.Пространство A4, для векторов которого введено скалярное умножение по формуле (1) называется четырехмерным псевдоевклидовым пространством индекса 1 или пространством Минковского. Евклидова плоскость R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде Псевдоевклидова плоскость1R2, на которой существует базис, в котором скалярное произведение любых двух векторов этой плоскости записывается в виде , где . Например, евклидовой 3-плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Тогда получим, , )= Например, плоскостью 1R3 является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , Получаем, , )=Через каждую точку N направляющей линии с радиус-вектором r(u) проводим прямую параллельно вектору l(u),.отвечающему этой точке. Выбор образующей определяется, таким образом, значением u; что же касается выбора какой-нибудь точки М на этой образующей, то его мы будем характеризовать расстоянием NM по образующей от направляющей линии до точки М. Следовательно, вдоль образующей направление нормали к поверхности меняется от точки к точке. Очевидно, что касательная плоскость в какой-нибудь точке на данной образующей проходит через эту образующую (так как образующая является своей собственной касательной). Когда точка касания движется вдоль образующей, то касательная плоскость проходит все время через образующую; и так как касательная плоскость должна, кроме того, оставаться перпендикулярной к неизменному направлению нормали, то она не может вращаться около образующей и остается неподвижной.Рассмотрим торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29) . Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата имеет тип 50: {M, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4}, где параметр u есть естественный параметр на ребре возврата . Кривая d: u=u(t); v=v(t) (35) на торсе Т называется (k,n) - геодезической, если соприкасающаяся n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k - мерную нормаль к торсу. С другой стороны, нормаль к поверхности, исходя из определения, содержится в соприкасающейся 2-плоскости , т.е. Сгруппировав коэффициенты при , получаем систему: Из системы видим, что если (1,2) - геодезическая линия существует, то она определяется нормалью .Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль. Нормальной кривизной кривой на поверхности пространства Минковского называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормальную плоскость к поверхности в этой точке. Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке она имеет асимптотическое направление. Вектором кривизны кривой на поверхности пространства Минковского будем называть вектор , где s - естественная параметризация на этой кривой. В пространстве 1R4 к поверхности в данной точке существует целая плоскость нормалей, поэтому необходимо определить нормаль, на которую будет проецироваться вектор кривизны.В пространстве 1R4 рассматриваются торсы, то есть поверхности образованные касательными к некоторой кривой пространства Минковского, называемой ребром возврата для этого торса. Рассмотрен класс таких поверхностей, ребро возврата которых имеет соприкасающийся флаг вида {M, R1, 1R2, 1R3}. Для торсов такого класса решены следующие задачи: 1.

Содержание

Введение

§1. Пространство Минковского

§2. Кривые в пространстве 1R4

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях

§4. Торсы в пространстве 1R4

§5. Линии на торсах пространства Минковского

§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского

Заключение

Список использованных источников

В работе исследуется геометрия поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один, т.е. пространства Минковского.

Изучение дифференциальной геометрии в пространстве Минковского является актуальной задачей, поскольку пространство Минковского является пространством специальной теории относительности, и все результаты по дифференциальной геометрии этого пространства получают физическое истолкование. Каждое событие характеризуется тремя пространственными координатами и моментом времени t. Если уравнения физической теории (релятивистской механики, релятивистской гидродинамики, электродинамики и др.) записаны в виде соотношений, связывающих векторы и тензоры, заданные в пространстве Минковского, то их вид будет одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Тем самым основной принцип специальной теории относительности будет выполняться автоматически.

Интервал (расстояние между точками) в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замен е одной инерциальной системы отсчета на другую, так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве.

Данная работа состоит из шести параграфов.

В первом параграфе происходит знакомство с пространством Минковского, дается определение этого пространства, его основные особенности, перечисляются типы прямых и плоскостей.

Во втором параграфе исследуются кривые пространства 1R4, вводится понятие соприкасающегося флага. Для кривых с заданным соприкасающимся флагом строится канонический репер и выводятся деривационные формулы.

Третий параграф посвящен изучению развертывающихся и линейчатых поверхностей. Изучение основных понятий этого параграфа поможет перейти к рассмотрению торсов.

В четвертом параграфе рассматриваются торсы с псевдоевклидовой касательной плоскостью и соприкасающимся флагом вида {M, R1, 1R2, 1R3}. Для таких торсов строится канонический репер кривой пространства 1R4 и выводятся деривационные формулы.

В последующих двух параграфах исследуются линии на торсах указанного типа с помощью построенного канонического репера. Дается понятие геодезических линий, решается вопрос о существовании (1,2)-,(2,2)-,(1,3)-,(2,3)- геодезических линий на торсе с псевдоевклидовой касательной плоскостью. Вводится понятие нормальной кривизны кривой, вектора кривизны, определяются асимптотические линии.

В работе исследуется геометрия поверхностей пространства Минковского.

В пространстве 1R4 рассматриваются торсы, то есть поверхности образованные касательными к некоторой кривой пространства Минковского, называемой ребром возврата для этого торса. Рассмотрен класс таких поверхностей, ребро возврата которых имеет соприкасающийся флаг вида {M, R1, 1R2, 1R3}.

Для торсов такого класса решены следующие задачи: 1. построен канонический репер торса;

2. получены деривационные формулы построенного канонического репера;

3. определено понятие (n,k) - геодезических линий на торсе;

4. получена теорема о существовании (1,2)-, (2,3) - геодезических линий на исследуемом торсе;

5. вводится обобщение понятия асимптотических линий на поверхности пространства Минковского, находятся асимптотические линии на торсе рассматриваемого класса.

Результаты проводимого исследования докладывались на республиканской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные проблемы математического моделирования и новые образовательные технологии в математике» (Брест, 23 апреля 2009 года). На основании доклада будет напечатана статья в сборнике материалов конференции.

1. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч./ Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. - М.: Просвещение, 1976. - Ч.2. - 488 с.

2. Базылев, В.Т. Геометрия: в 2 т./ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1972. - Т.2. - 352 с.

3. Бакельман, И.Я. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие/ И.Я. Бакельман, А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор. - М.: Наука, 1973. - 437 с.

4. Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. - мат. спец./ Н.М. Матвеев. - М.: Просвещение, 1988. - 464 с.

5. Погорелов, А.В. Геометрия: учебник для студентов математических специальностей университетов и пед. институтов/ А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1974. - 173 с.

6. Позняк, Э.Г. Геометрия: учеб. пособие/ Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

7. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии/ П.К. Рашевский. - М.: Просвещение, 1982. - 220 с.

8. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ/ П.К. Рашевский. - М.: Наука, 1964. - 538 с.

9. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии/ И.А.Тайманов. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 176 с.

10. Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: курс лекций для мат. ф-та МГУ/ М.С. Фиников. - М.: московский университет, 1961. - 150 с.

11. Шварц, Д. Дифференциальная геометрия и топология/ Д. Шварц. - М.: Мир, 1970. - 224 с.