Дифференциальная геометрия поверхностей Каталана - Дипломная работа

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности 3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Каталана5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности6.1 Общие положения и возможности программыПервой квадратичной формой на поверхности называется выражение Выражение (2) в каждой точке поверхности представляет собой квадратичную форму от дифференциалов и . Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своих исследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]): , , .Известно, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму. Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными. Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости.Выберем на поверхности некоторую точку и рассмотрим плоскость , которая касается поверхности в этой точке. Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и конец вектора лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке . Тогда любое другое направление на поверхности в точке можно задавать при помощи угла , который оно образует с уже выбранным направлением. Покажем, что в этом случае, в точке можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающие следующими свойствами: - для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке , обращается в нуль, - все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса - для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна и для другого отрицательна.Рассмотрим на поверхности произвольную - регулярную кривую, проходящую через точку в направлении . Вычислим в точке три вектора Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности. Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения. Покажем, что в каждой точке-регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.Это очевидно, так как все три вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие в смешанном произведении лежат в одной плоскости, - плоскости параллелизма, т.е. они компланарны. Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана. Посмотрим на картинку: Так как , то все эти три вектора лежат в одной плоскости - плоскости . А в силу того, что , эти векторы тоже лежат в одной плоскости - плоскости (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы и неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т.е. плоскости и - совпадают, а значит, все четыре вектора: , , , лежат в одной плоскости, а значит: .Таким образом, в точке , для которой это справедливо можно указать два неколлинеарных направления, обладающих следующими свойствами: а) Для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма, вычисленная в точке , обращается в нуль. б) все остальные направления на поверхности в точке разбиваются на два класса - для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна, а для другого отрицательна. Другими словами в окрестности точки поверхность лежит по разные стороны от касательной плоскости в заданной точке. Такие точки называют точками уплощения поверхности. Поверхность в окрестности точки уплощения может выглядеть самым разным образом, вот один из примеров… Уравнение этой кривой в пространстве имеет вид: Если в каждой точке кривизна равно нулю - то это связное множество точек, которое лежит на прямой.Нам будет интересно, в частности, рассматривать различные понятия и свойства этих поверхностей в разрезе направляющих кривых, так, что мы будем использовать (3) форму записи уравнения поверхности. Так как поверхности класса КА являются линейчатыми поверхностями, то чтобы выделить некоторые их особые, отличные от всех линейчатых поверхностей свойства, мы для начала рассчитаем некоторые характеристики линейчат

Содержание

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей. Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

2.2 Примеры поверхностей Каталана

2.3 Виды поверхностей Каталана

1. Проведен подробный анализ поверхностей Каталана с точки зрения дифференциальной геометрии, получены важные необходимые и достаточные условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Получены уравнения для определения минимальных поверхностей Каталана. Для частных случаев сформулированы и доказаны теоремы. Как и ожидалось поверхности Каталана обладают своими, отличными от всех линейчатых поверхностей свойствами, которые и отражены в этой работе.

2. Рассмотрен особый подкласс поверхностей Каталана - поверхности класса КА. Независимо выведено уравнение этого класса поверхностей, получены формулы для сведения произвольно заданной поверхности к уравнению найденного типа. Выведены формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА, сформулирован и доказан ряд утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности класса КА.

3. Разработана программа визуализации и анализа параметрически заданных поверхностей, которая успешно решает задачу определения линейчатости поверхности для широкого спектра произвольно заданных уравнений поверхности. Позволяет наблюдать как результат - итоговые найденные прямые, так и промежуточные результаты (кривые нормального сечения).

4. Таким образом, поставленные перед автором задачи были полностью и успешно решены, однако, остались неохваченными некоторые полученные в ходе исследования новые уравнения, требующие дополнительного исследования (в частности, определения нахождения прямой на поверхности, имеющей общие точки со всеми образующими).

1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 432 с. - ISBN 5-354-00294-Х (Книга включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применении к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей. Рекомендуется математикам и механикам - студентам, аспирантам и научным работникам. Может служить в качестве учебного пособия).

2. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. - Изд. 2-е исправл. и доп. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 488 с. - ISBN 5-354-0034301 (Книга знакомит с основными понятиями теории кривых и поверхностей, элементами тензорно исчисления, римановой геометрии и гладких многообразий, а также с некоторыми их приложениями в математике, физике, технике. Материал подробно проиллюстрирован примерами и рисунками. Книга рассчитана на математиков-прикладников, физиков, механиков, инженеров. Предполагается знакомство читателя с аналитической геометрией, линейной алгеброй, дифференциальным и интегральным исчислением).

3. Сизый С.В. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 376 с. - ISBN 978-5-9221-0742-6 (Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект лекций по курсу "Теория чисел" для студентов третьего курса механико-математического факультета Уральского государственного университета. В пособии представлены следующие разделы теории чисел: теория делимости целых чисел, цепные дроби, мультипликативные функции, теория сравнений, трансцендентные числа. Большинство пунктов пособия снабжено задачами для самостоятельного решения. Рекомендовано к изданию Научно-методическим советом по математике и механике УМО университетов России в качестве учебного пособия для математических специальностей и направлений подготовки в университетах).

4. Фиников П.С. Курс дифференциальной геометрии. - М.: КОМКНИГА, 2007. - 344 с. - ISBN 5-484-00355-5 (Вниманию читателя предлагается курс дифференциальной геометрии, написанный известным отечественным математиком С.П.Финиковым. Во введении даются основные определения и рассматриваются простейшие свойства простой дуги кривой и простого куска поверхности. В первой части излагается теория кривых, описываются натуральные уравнения кривой и теория огибающих. Во второй части подробно рассматривается теория поверхностей. Также в книгу включен краткий исторический очерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней. Рекомендуется математикам, механикам, физикам-теоретикам - студентам, аспирантам, преподавателям и научным работникам).

5. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. - М.: Институт компьютерных исследований, Регулярная и хаотическая динамика, 2006. - 256 с. - ISBN 5-93972-467-1 (Изложены основы дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, а также несколько дополнительных разделов, посвященных теории групп Ли и элементам теории представления. Книга возникла из курса лекций, прочитанных автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Несмотря на компактность книги, все вопросы разобраны достаточно доступно, имеются задачи для самостоятельного решения. Может служить учебным пособием для студентов механико-математических и физических специальностей университетов).

6. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. - Новокузнецк: ИО НФМИ, 2003. - 222 с. - ISBN 5-80323-307-2 (Книга представляет собой курс лекций, прочитанных известным американским математиком Дж. Шварцем. Лаконичность и сравнительная простота изложения позволяют читателю быстро ознакомиться с основными понятиями дифференциальной геометрии и топологии. Начиная с общей теории многообразий, выясняя далее связь топологических инвариантов с инвариантами римановой метрики и переходя к К-теории, автор завершает изложение теоремой о векторных полях на сферах. Книга представляет интерес для широких кругов математиков. Ее могут использовать студенты, аспиранты и преподаватели университетов и пединститутов).

7. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. - М.: Платон, 2000. - 360 с. - ISBN 5-80100-284-7 (Книга американского ученого, знакомящая с основными понятиями и методами дифференциальной геометрии. В ней использован довольно общий алгебраический подход, изложение богато иллюстрировано графическим материалом, имеется около 300 задач).

8. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. - М.: КОМКНИГА, 2006. - 304 с. - ISBN 5-484-00450-0 (Предлагаемая вниманию читателя книга, написанная известным отечественным математиком С.С. Бюшгенсом, представляет собой учебник по дифференциальной геометрии. Автор рассматривает следующие темы: исследование плоской кривой по ее уравнению, соприкосновение плоских кривых и кривизна кривой, пространственные кривые, поверхности, кривизна поверхностей, метод подвижного репера для поверхностей. Книга содержит большое количество упражнений и задач, которые сопровождаются либо полными решениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений. Рекомендуется студентам, аспирантам и преподавателям математических вузов, а также специалистам - математикам и физикам, применяющим в своих исследованиях методы дифференциальной геометрии).

9. Гусейн-Заде С.М. Дифференциальная геометрия. Современные лекционные курсы. М.: МЦНМО, 2004. - 80 с. - SBN 5-900916-93-6 (Настоящий текст представляет собой записи лекций, читавшихся С.М. Гусейн-Заде в Независимом Московском Университете в 1994/95 и в 1995/96 учебных годах для студентов 3 курса (во II семестре) с минимальными изъятиями и дополнениями. Лекции являлись продолжением части курса, читавшейся в первом семестре С.П. Новиковым, и основывались на нем. Текст публикуется в авторской редакции).

10. Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию. - У.: Издательство Удмуртского университета, Регулярная и хаотическая динамика, 2005. - 232 с. - ISBN 5-7029-0342-0 (В этой книге излагается в элементарной форме основы теории кривых и поверхностей с помощью метода внешних форм Картана. Идеи этого метода изложены в объеме, достаточном для понимания основного материала. В конце каждой главы приведены задачи и вопросы. В комментариях В.А. Александрова отражено современно состояние обсуждаемых вопросов. Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области математики).

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Лань, 2003. - 832 с. - ISBN 5-8114-0485-9 ("Справочник" содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. Справочник рассчитан на студентов старших курсов математических специальностей, научных работников и инженеров).

12. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Издательство «Факториал Пресс», 2000. - 448 с. - ISBN: 5-88688-048-8 (Книга представляет собой курс дифференциальной геометрии, читаемый в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал. Для математиков и физиков - студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников).

13. Эйнджел Э. Интерактивная компьютерная графика. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. - 592 с. - ISBN 5-8459-0209-6 (Книга представляет собой вводный курс компьютерной графики, в котором основной упор сделан на вопросах прикладного программирования. Она включает описание структуры графических систем и обсуждение основных концепции формирования изображений трехмерных объектов и сцен. Рассматривается взаимодействие освещения и материалов, также приводятся основные сведения о методах тонирования освещенных поверхностей, принципах иерархической организации графических моделей и новых возможностях современных аппаратных графических средств. В книгу включены те разделы линейной алгебры и геометрии, которые необходимы для понимания основ компьютерной графики. Обсуждаются методы построения кривых и поверхностей, языковые модели, фракталы и системы частиц, а также методика применения графических средств для визуализации результатов научных расчетов. Весь теоретический материал в книге иллюстрируется программами на OPENGL. Книга адресована в основном студентам старших курсов и аспирантам первого года обучения, специализирующимся в области информатики и вычислительной техники, но будет также полезна и многим профессионалам).

14. Шрайнер Д. OPENGL. Официальный справочник. - СПБ: ООО «ДИАСОФТЮП», 2002. - 512 с. - ISBN 0-201-65765-1, 5-93772-048-2 (Эта книга является первым русским изданием третьей редакции официального справочника по OPENGL, подготовленным Наблюдательным Советом по Архитектуре OPENGL и компанией SGI. Материал в книге расположен так, что позволяет читателю быстро и эффективно найти в огромной графической библиотеке OPENGL нужную команду или константу, познакомиться с основными идеями и принципами реализации той или иной команды, понять, как работает та или иная команда, а также разобраться с общей архитектурой OPENGL. Книга написана достаточно строго, но понятно, и рассчитана на широкий круг читателей - от новичков до специалистов, уже работающих с OPENGL).

15. М. Ву, Т. Девис, Дж. Нейдер, Д. Шрайнер. OPENGL. Руководство по программированию. - СПБ: «Питер», 2006. - 624 с. - ISBN 5-94723-827-6, 0-3211-7348-1 (Это 4-е издание признанного бестселлера, посвященного OPENGL и его библиотеке инструментов. В книге описаны все возможности OPENGL и самые значительные приложения, содержится описание базовых методов компьютерной графики, таких как построение и воспроизведение трехмерных моделей, интерактивный просмотр объектов с различных точек наблюдения, использование тонирования, освещения и эффектов текстурирования. Представлено углубленное описание дополнительных методов компьютерной графики: наложение текстур, сглаживание, "туман" и имитация других атмосферных эффектов, сплайны, конвейерная обработка изображений и другие ключевые темы, такие как повышение производительности программ, расширения OPENGL и создание кросс-платформных приложений).

Размещено на