Диференціально-символьний метод розв’язування задач з нелокальними крайовими умовами для рівнянь із частинними похідними - Автореферат

У роботах В.М.Борок та її учнів в основному виділяються або регулярні випадки задач з нелокальними крайовими умовами у смузі чи шарі, або накладаються умови відокремлюваності від нуля знаменників, що можуть перетворюватися в нуль; ці умови забезпечують однозначну розвязність таких задач. Зокрема, задачі з нелокальними крайовими умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними нескінченного порядку за просторовими змінними потребують подальшого вивчення. Диференціально-символьний метод у деякому сенсі споріднений з класичним операційним численням, яке було запропоноване у роботах М.Є.Ващенка-Захарченка та узагальнене, строго обґрунтоване і використане для розвязування задач електромагнітної теорії О.Гевісайдом, а згодом використане у задачах механіки А.І.Лурє, В.В.Власовим та іншими вченими і яке передбачає відшукання розвязку рівняння чи задачі для рівнянь із частинними похідними у вигляді Можна виділити такі характерні ознаки цього методу: при його застосуванні побудова розвязку задачі не залежить від типу рівняння; неістотною є кількість просторових змінних; метод є однаково застосовним як для однорідних, так і для неоднорідних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними; у випадку поліномних чи квазіполіномних початкових функцій і правих частин рівнянь диференціально-символьний метод вимагає лише скінченної кількості операцій диференціювання. Згадані особливості диференціально-символьного методу підкреслюють актуальність подальших досліджень, повязаних із застосуванням такого методу до розвязування задач із нелокальними крайовими умовами для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною та нескінченного порядку за просторовими змінними, дослідження ядер цих задач, побудови часткових розвязків у випадку існування неєдиного розвязку.У другому розділі дисертації досліджено задачу де … - диференціальний вираз, загалом, нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами та цілим аналітичним символом. Розвязок задачі (1), (2) шукається у вигляді суми розвязку задачі (3), (4) та часткових розвязків задач (3), (2) та (1), (4). Нехай функція … - квазіполіном з класу … вигляду де … і … - довільні поліноми степенів …,…. Навпаки, якщо функція (7) є розвязком задачі (3), (4) і …, то … має вигляд (8), у якому … і … - деякі поліноми степенів не вище …. Якщо функція … належить до класу … і є розвязком задачі (3), (4).Дисертація присвячена дослідженню розвязності та побудові розвязків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами. Виділено класи існування та єдиності розвязків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівняння та системи рівнянь із частинними похідними у класах квазіполіномів, а в окремих випадках - у класах цілих аналітичних функцій з певними обмеженнями на зростання. Ці розвязки побудовано за допомогою диференціально-символьного методу у явному вигляді, їх подано як дії диференціальних виразів, взагалі кажучи, нескінченних порядків, на деякі цілі або мероморфні функції (або матриці - у випадку системи рівнянь), залежні від вектор-параметра, з подальшим покладанням цього вектор-параметра таким, що дорівнює нулеві.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація присвячена дослідженню розвязності та побудові розвязків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за просторовими змінними зі сталими коефіцієнтами. Розвязки задач побудовано за допомогою диференціально-символьного методу. У дисертації одержано такі нові результати: 1. Виділено класи існування та єдиності розвязків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівняння та системи рівнянь із частинними похідними у класах квазіполіномів, а в окремих випадках - у класах цілих аналітичних функцій з певними обмеженнями на зростання.

2. Побудовано розвязок задачі для однорідного рівняння та однорідної системи рівнянь з неоднорідною нелокальною умовою, а також для неоднорідного рівняння та неоднорідної системи рівнянь з однорідною нелокальною умовою. Ці розвязки побудовано за допомогою диференціально-символьного методу у явному вигляді, їх подано як дії диференціальних виразів, взагалі кажучи, нескінченних порядків, на деякі цілі або мероморфні функції (або матриці - у випадку системи рівнянь), залежні від вектор-параметра, з подальшим покладанням цього вектор-параметра таким, що дорівнює нулеві.

3. За допомогою цього ж методу досліджено ядра таких задач у класі квазіполіномів. Знайдено необхідні (а у випадку одного рівняння - і достатні) умови належності до ядра функцій квазіполіномного вигляду.

4. Для випадку існування неєдиного розвязку задачі для квазіполіномних правих частин рівнянь та умов розроблено алгоритм побудови часткових розвязків із точністю до елементів ядер задач.

Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у подальших теоретичних дослідженнях задач з нелокальними крайовими умовами, а також у конкретних практичних задачах, моделями яких є задачі з нелокальними крайовими умовами.

1. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розвязування нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - 45, №2. - С.7-15.

2. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розвязування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2003. - 46, №3. - С.25-31.

3. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розвязування нелокальної крайової задачі для неоднорідного рівняння із частинними похідними // Вісн. Львів. ун-ту. - Серія мех.-матем. - 2003. - №62. - С.60-66.

4. Kalenyuk P., Kohut I., Nytrebych Z. Differential-symbol method of solving the nonlocal boundary value problem in the class of non-uniqueness of its solution // Мат. студії. - 2003. - 20, №1. - С.53-60.

5. Когут І.В. Розвязування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними диференціально-символьним методом // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - 47, №4. - С.120-124.

6. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Нелокальна крайова задача для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом // Мат. студії. - 2005. - 24, №2. - С.159-166.

7. Когут І.В. Диференціально-символьний метод розвязання нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними першого порядку за часом // Міжнародна наукова конференція “Нові підходи до розвязування диференціальних рівнянь” (1-5 жовтня 2001р., м.Дрогобич). Тези доповідей. - С.69.

8. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розвязання нелокальної крайової задачі для рівняння з частинними похідними // ІХМІЖНАРОДНА конференція ім. акад. М.Кравчука (16-19 травня 2002р., м. Київ). Матеріали конференції. - С.87.

9. Kalenyuk P., Kohut I., Nytrebych Z. Differential-symbol method of solving the nonlocal boundary value problem // Міжнародна конференція “Функціональний аналіз та його застосування”, присвячена 110-й річниці С.Банаха (28-31 травня 2002 р., м.Львів). Тези доповідей. - С. 97.

10. Когут І.В. Дослідження множини розвязків однорідної системи рівнянь із частинними похідними з однорідною нелокальною крайовою умовою // Міжнародна наукова конференція “Шості боголюбовські читання” (26-30 серпня 2003р., м.Чернівці). Тези доповідей. - С.99.

11. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Диференціально-символьний метод розвязування нелокальної крайової задачі для однорідної системи рівнянь із частинними похідними // III Всеукраїнська наукова конференція “Нелінійні проблеми аналізу” (9-12 вересня 2003р., м.Івано-Франківськ). Тези доповідей. - С.45.

12. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Нелокальна крайова задача для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними // Хміжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (13-15 травня 2004 р., м.Київ). Матеріали конференції. - С.121.

13. Когут І.В. Дослідження нелокальної крайової задачі для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними за допомогою диференціально-символьного методу // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С.Підстригача (24-26 травня 2004р., м.Львів). Тези доповідей. - С.80-82.

14. Когут І.В. Дослідження нелокальної крайової задачі у класі існування її неєдиного розвязку // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробогатька (27 вересня - 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. - С.100.

Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Про нелокальну крайову задачу для неоднорідної системи рівнянь із частинними похідними // Міжнародна наукова конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь КНУ ім. Т.Шевченка (6-9 червня 2005 р., м.Київ). Тези доповідей. - С.37.

15. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М., Ільків В.С. Про однозначну розвязність нелокальної крайової задачі для системи рівнянь із частинними похідними // XI міжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (18-20 травня 2006 р., м.Київ). Матеріали конференції. - С.118.

16. Каленюк П.І., Когут І.В., Нитребич З.М. Дослідження нелокальної крайової задачі для системи рівнянь із частинними похідними першого порядку за часом // Міжнародна конференція з диференціальних рівнянь, присвячена 100-й річниці Я.Б.Лопатинського (12-17 вересня 2006 р., м.Львів). Тези доповідей. - С.30-31.

17. Когут І.В. Побудова розвязку нелокальної крайової задачі в області неєдиності за допомогою диференціально-символьного методу // Міжнародна наукова конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”, (11-14 жовтня 2006 р., м.Чернівці). Тези доповідей. - С.65.

Размещено на .ru