Сущность и структурные компоненты дидактической игры, ее признаки и правила. История возникновения и особенности славянского алфавитного обозначения чисел. Разработка теории чисел математиками античного мира. Содержание и доказательство теорем Ферма.
В отличие от игр вообще дидактическая игра обладает существенным признаком - наличием четко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью. Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения и навыки для достижения целей игры. Дидактическая игра имеет определенный результат, который является финалом игры, придает игре законченность. Числа 11, 12,..., 19 в славянской нумерации записывали двумя буквами: сначала единицы, потом десятки. Они разработали теорию делимости чисел, выделили и исследовали разные подмножества натуральных чисел: простые, треугольные, квадратные, совершенные, дружественные и другие, доказали бесконечность количества простых чисел, создали алгоритм Евклида и тому подобное.Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры люди в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания.
Введение
Современный этап развития общества требует новых подходов к организации обучения, которые бы способствовали формированию и развитию его способностей, быстрой адаптации при изменении жизненных обстоятельств.
Формирование познавательной активности учащихся в процессе обучения математике - одна из острых проблем. Это обусловлено, прежде всего, социальными, психолого-педагогическими и методическими проблемами воспитания личности.
Использование игр не только развивает логическое мышление, но и делает процесс обучения алгебры интересным и занимательным, облегчает преодоление трудностей в усвоении изучаемого материала. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная задача, поддерживают и усиливают интерес учащихся к учебному предмету, вырабатывается привычка сосредотачиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям.
Постановка задач
- раскрыть сущность, функции и структуру дидактических игр;
- изучить психолого-дидактические условия для создания компьютерных программ;
Понятие дидактической игры
Игра - форма деятельности в условных ситуациях, направленная на воссоздание и усвоение общественного опыта, фиксированного в социально закрепленных способах осуществления предметных действий, в предметах науки и культуры.
Одной из разновидностей игр есть дидактическая игра.
Дидактическая игра - это специально созданная игра, выполняющая определенную дидактическую задачу, скрытую от участников в игровой ситуации за игровыми действиями.
Во-первых, дидактическая игра имеет свою устойчивую структуру, которая отличает ее от всякой другой деятельности.
Основными структурными компонентами дидактической игры являются: игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результат игры.
В отличие от игр вообще дидактическая игра обладает существенным признаком - наличием четко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью.
Остановимся более подробно на структурных компонентах дидактической игры.
Каждая дидактическая игра имеет правила, которые определяют порядок действий и поведение учащихся в процессе игры, способствуют созданию на уроке рабочей обстановки. Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения и навыки для достижения целей игры. Основой дидактической игры, которая пронизывает собой ее структурные элементы, является познавательное содержание. Дидактическая игра имеет определенный результат, который является финалом игры, придает игре законченность. Он выступает, прежде всего, в форме решения поставленной учебной задачи и дает школьникам моральное и умственное удовлетворение.
Сведения из истории алгебры, применяемые в дидактических играх
История нумерации
Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в. Его введение приписывают составителям славянского алфавита братьям Кириллу и Мефодию. Эта нумерация чисел была создана по образцу ионийской, которой пользовались византийцы, причем числовые значения имели только те славянские буквы (из кириллицы), которые отвечали буквам греческого алфавита (сравните соответствующие нумерации на рис. 1).
Рис. 1
Над буквой кириллицы, которая обозначала данное число, ставили особенный знак - титло. Тысячи обозначали теми же буквами, что и единицы, но со значком, который ставили слева от букв, которые означали количество тысяч. Для обозначения многозначных чисел знаки записывали к ряду: тысячи, сотни, десятки, единицы. Кроме основных алфавитных знаков, славянская нумерация имела оригинальную систему вспомогательных символов для обозначения единиц высших разрядов, какие записывали теми самыми буквами, но с добавлением разных значков.
Числа до тысячи называла почти так же, как и теперь. Десять тысяч называли «тьмой». Это число считали очень большим и называли им всякое множественное число, которое нельзя было посчитать. Кроме описанной нумерации (так называемый «малый счет»), которая не распространялась за тысячу миллионов, употребляли еще и «великий счет». Числа 106, 1012, 1024, 1048, 1049называли соответственно тьмой, легионом, леодром, вороном, колодой. Считали, что большего числа, чем колода, нет.
Числа 11, 12,..., 19 в славянской нумерации записывали двумя буквами: сначала единицы, потом десятки. В других случаях единицы писали после десятков.
Славянской нумерацией восточные славяне, в том числе и украинцы, пользовались долго. В западноевропейских странах раньше использовали римскую нумерацию. Отдельные нумерации существовали у китайцев, японцев, евреев и других древних народов. Почти все они основывались на десятичной системе исчисления и были непозиционными.
Самой удобной оказалась индийская нумерация. Сформировалась индийская нумерация приблизительно в 5-6 в. н. э. Она содержала цифру для обозначения нуля и была позиционной, что значительно преобладало над всеми другими. Поскольку к европейцам эта нумерация пришла от арабов, то ее еще и до сих пор нередко называют арабской. Цифры этой нумерации со временем изменялись. Некоторые из этих изменений отображены в таблице 1
Таблица 1. Эволюция современных чисел
История развития теории чисел дидактическая игра число ферма
Теория чисел занимается исследованиями проблем, связанных с делимостью целых чисел, конгруэнциями, свойствами простых и некоторых других чисел, целочисленных функций, решениями диофантовых уравнений и пр.
Немало интересных свойств натуральных чисел, обнаружили математики античного мира: Пифагор, Евклид, Диофант. Они разработали теорию делимости чисел, выделили и исследовали разные подмножества натуральных чисел: простые, треугольные, квадратные, совершенные, дружественные и другие, доказали бесконечность количества простых чисел, создали алгоритм Евклида и тому подобное. Но настоящим творцом теории чисел считается П.Ферма. Основные факты из теории чисел содержатся в 48 его комментариях к книге Диофанта и в письмах к европейским математикам.
Ферма работал не только в отрасли теории чисел. Он большой вклад сделал в развитие аналитической геометрии, дифференциального исчисления, теории вероятностей и т.п.
По теории чисел наиболее важные результаты работы Ферма такие: - малая теорема Ферма: если число р - простое, и р взаимно простые, то ;
- доказательство теоремы о том, что любое простое число вида 4n 1 является суммой двух квадратов;
- общее решение уравнения в целых числах ( - данное натуральное число, которое не равняется квадрату, - неизвестны целые числа);
- большая теорема Ферма: если n - целое, больше 2, то уравнение не имеет решений в целых числах;
- разработал метод бесконечного спуска.
Важнейшей для математики оказалась малая теорема Ферма. Самой известной - большая теорема Ферма. Формулировал он ее так: „Невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень на две степени с такими же показателями; я нашел этому удивительное доказательство, однако поля очень узкие для того, чтобы оно здесь вместилось”. Этот текст с указанием "Наблюдения господина Пьера де Ферма" содержался в издании трудов Диофанта. Его опубликовал Ферма-сын в 1670 г. через 5 лет после смерти отца. Большая теорема Ферма всегда привлекала много внимания и стимулировала развитие математики. Попытки ее доказать привели к созданию большого раздела - теории алгебраических чисел. С помощью сложной теоретико-числовой техники теорема Ферма была доказана для всех 4000000, но до конца 1994 г. доказательство для общего случая не существовало. Получить полное доказательство стало возможным с помощью теории эллиптических кривых.
В 1955 г. молодой японский математик Ю. Танияма сформулировал гипотезу о свойствах эллиптических кривых (кривые вида , где и b - целые числа). Через 20 лет немецкий математик Г.Фрей обнаружил, что из гипотезы Таниямы, как следствие, вытекает теорема Ферма. Доказать это следствие Г.Фрей полностью не смог, но опубликовал его в виде гипотезы. Эту гипотезу в 1985 г. доказал американский математик К. Рибет. Осталось доказать гипотезу Таниямы. Это сделал американский Математик Е.Уайлс. Текст доказательства гипотезы Таниямы (150 страниц), написанный Е.Уайлсом в сотрудничестве с Р.Тейлором, опубликовали летом 1995 г. В 1998 г., когда Е.Уайлз доложил свое доказательство на Всемирном математическом конгрессе в Берлине, была поставлена последняя точка в 350-летний истории теоремы Ферма.
Становление теории чисел как науки связано с именем Л. Эйлера. Ему принадлежит более сотни трудов по вопросам теории чисел. Большой цикл его работ начался с доказательства малой теоремы Ферма. Он подал несколько различных ее доказательств, а потом существенно обобщил ее для составного числа m: если числа и m - взаимно простые, то .
Функция , которой обозначается количество натуральных чисел, не превышающих m и взаимно простых с m, получила название функции Эйлера. Особенно важна созданная Эйлером теория степенных остатков. Обнаружил он и закон взаимности квадратичных остатков: выяснил, при каких условиях конгруэнция имеет решения, но не доказал его.
Эйлер рассмотрел, доказал, обобщил и использовал для нахождения простых чисел теорему о представлении простого числа вида 4n 1 в виде суммы двух квадратов. Он составил таблицы простых чисел до миллиона и дальше, используя для определения простых чисел несколько измененное решето Эратосфена.
Наибольшее место в исследованиях Эйлера по теории чисел занимают задачи по диофантовому анализу. Во второй части «Универсальной арифметики», которая посвящена диофантовому анализу, он систематизировал задачи по неопределенным уравнениям первой, второй, третьей и четвертой степеней, решил много неопределенных уравнений в целых числах, используя метод бесконечных спусков, о котором вспоминал еще Ферма. Этот метод, в частности, Эйлер использовал и для доказательства большой теоремы Ферма при и .
Важной заслугой Эйлера стало применение им в теории чисел средств математического анализа и использование теории чисел в других областях математики.
В XVIII в. теория чисел переросла в отдельную отрасль математики. В работах Л.Эйлера, Т.Варинга, Ж.Лагранжа, А.Лежандра, Й.Ламберта и др. математиков определились почти все главные проблемы и направления и сформировались многочисленные методы теории чисел. Первый систематический курс теории чисел опубликовал А. Лежандр. В 1798 и 1808 гг. вышла его книга "Очерк теории чисел", а в 1830 г. - "Теория чисел". Достижения Лежандра: - первое неполное доказательство квадратичного закона взаимности;
- асимптотические формулы для числа простых чисел в натуральном ряде и в арифметической прогрессии;
- аналитическая запись решета Эратосфена;
- удобные обозначения;
- доказательство теоремы Коши о многоугольных числах;
- доказательство большой теоремы Ферма для случая n = 5.
В XIX в. характер и направления исследований по теории чисел определялись работами К.Гаусса. Фундаментальный труд в данной отрасли "Арифметические исследования" ученый завершил в 1801 г., когда ему было 24 года. Гаусс обстоятельно развил теорию квадратичных остатков, впервые доказал закон взаимности квадратичных остатков. Это - основная теорема теории чисел. К.Гаусс считается одним из величайших математиков всех времен, «королем математики».
Последующее развитие теории чисел в Европе связано с деятельностью О.Коши, Ж.Лиувилля, П.Дирихле, Г.Римана, Е.Куммера, Ю.Дедекинда, Л.Кронекера, Г.Минковского, К.Якоби, П.Чебышева, О.Коркина, Е.Золотарева, А.Маркова, Г.Вороного, Д.Граве, Б.Делоне, М.Чеботарева, О.Шмидта и др.
Отдельные проблемы теории чисел стали источником больших самостоятельных направлений в математике. Такими, в частности, стали, алгебраическая, геометрическая и аналитическая теории чисел.
Важных результатов в геометрической теории чисел добился украинский математик Г.Ф.Вороной. Его считают творцом геометрической теории чисел (вместе с Г.Д.Минковским). Работал он и в отрасли алгебраической теории чисел, в частности теории алгебраических чисел 3-го порядка. Его обобщения алгоритма непрерывных дробей положили начало общей теории неопределенных уравнений 3-й степени.
В области алгебраической теории чисел значительных результатов достиг известный математик Игорь Ростиславович Шафаревич. За труды по алгебраической теории чисел, в частности за обобщение закона взаимности квадратичных остатков, он награжден Ленинской премией. Лауреат Хайнемановской премии (ее часто приравнивают к Нобелевской) и многих других наград.
Вывод
Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры люди в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания.
