Возникновение и применение идеи бесконечности в древнегреческой математике. Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления. Аналитическое определение функции. Различные современные подходы к определению понятия "функция".
При низкой оригинальности работы "Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими. Потребовалась не одна сотня лет для того, чтобы математики смогли осмыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби. Аксиома полной индукции: если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Натуральные числа - это элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b установлено отношение «b следует за а» (число, следующее за а, обозначается а*), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам: 1. Пусть М - подмножество множества N натуральных чисел, обладающее свойствами: а) 1 принадлежит М, б) если натуральное число а принадлежит М, то а* также принадлежит М; тогда множество М содержит все натуральные числа, т.е.Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница (1646-1716) понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п. Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (1629-1695) (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, и, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений. Связь со сказанным выше устанавливается следующим соглашением, которого мы всюду в дальнейшем будем придерживаться: Если функция задана в виде равенства, в левой части которого стоит у (или другая буква, обозначающая функцию), а в правой части стоит некоторое выражение, содержащее аргумент х, а также знаки действия и числа (причем область определения не указана), то принято считать, что за область значений принимается все множество D действительных чисел; Функция (3) определена для всех действительных чисел х, кроме х=0, т. е. область определения этой функции получается выбрасыванием (или, как еще говорят, «выкалыванием») из множества D точки х=0. Но для того, чтобы некоторая точка х=а принадлежала области определения функции у=f(х) g(х), необходимо и достаточно, чтобы при х=а была определена и функция f(х), и функция g(х). Функция у=f(х) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами: 1) область определения этой функции симметрична относительно точки 0 (т.е. если точка а принадлежит области определения, то точка-а также принадлежит области определения); 2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство f(x)=f(-x).В результате изучения курса математики учащиеся должны: § понимать, что функция - это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции) описывают большое разнообразие реальных зависимостей; Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx b, где х - независимая переменная, k и b - некоторые числа. При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. С функциями у=х и у=х2 учащиеся познакомились, и им объясняется что эти функции - частный случай степенной функции у=xr, где r-заданное число (причем как целое, так и дробное).Например,
План
Введение
Глава I. Определение понятия функция
§ 1.1. Краткий обзор понятия числа.
§ 1.2. История развития функции.
§ 1.3. Различные современные подходы к определению понятия «функция», графики функции.
§ 1.4. Графики функции.
§ 1.5. Основные свойства функции. п.1.5.1. Ограниченность. п.1.5.2. Четность, нечетность. п.1.5.3. Монотонность. п.1.5.4. Точки экстремума. п.1.5.5. Непрерывность. п.1.5.6. Периодичность.
Глава II. Понятие функции в школьном курсе.
§ 2.1. Линейная функция.
§ 2.2. Квадратичная функция.
§ 2.3. Обратная пропорциональность.
§ 2.4. Степенная функция.
§ 2.5. Показательная функция.
§ 2.6. Логарифмическая функция.
§ 2.7. Тригонометрическая функция.
Глава III. Вспомогательные приемы построения усложненных графиков.
§ 3.1. Параллельный перенос. п.3.1.1. Сдвиг оси х-ов. п.3.1.2. Сдвиг оси у-ов.
§ 3.2. Растяжение и сжатие графика п.3.2.1. По оси х-ов. п.3.2.2. По оси у-ов.
§ 3.3. Отражение.
§ 3.4. График суммы и разности двух функций.
§ 3.5. Графики произведения и частного двух функций.
Заключение
Список использованных источников и литературы
Глава I. Определение понятия функция.
§ 1.1. Краткий обзор развития понятия числа.
Список литературы
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993..
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Вейц Б.Е., Ивашев - Мусатов О.С., Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 1997.
Денищева Л.О., Дудницын Ю.П., Ивлев Б.М., и др. Алгебра и начала анализа в 9-10 классах: Пособие для учителя - М.: Просвещение, 1988.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1996.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1998.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 10-11 кл. сред шк. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.
