Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец, его свойства. Виды определения векторов, действия над ними. Правила сложения векторов, их сумма. Скалярное произведение векторов. Особенности использования векторов. Решение геометрических задач.
Изучение свойств векторов, а также действия над ними занимает одно из значительных мест в изучении школьного курса математики, потому что является базой для дальнейшего усвоения разделов начертательной геометрии в ВУЗАХ. Знания о векторах помогут вам выполнить некоторые задачи с внешнего независимого тестирования. Задания по данной теме будут способствовать развитию математических способностей, а также позволят решать большой круг интересных задач, разными методами. Он будет содержать правила и теоретические сведенья по теме, а так же примеры решения задач с полным объяснениям к ним.Сам термин "вектор" появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона в работах по построению числовых систем. Окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса, который в 1901 г. опубликовал обширный учебник по векторному анализу. Вектор - это направленный отрезок, который имеет начало и конец. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.Два вектора называют равными, если их соответствующие координаты равны, или же они имеют одинаковую длину и направление (рис.3). Понятие равенства векторов позволяет отвлечься от расположения отрезка на плоскости или в пространстве и выделить длину и направление "в чистом виде". Вектор, противоположный вектору , обозначается через вектор .Суммой векторов и называется вектор . Теорема: Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство . Вектор АВ имеет координаты , вектор ВС имеет координаты . Следовательно вектор АВ ВС имеет координаты . Значит, векторы АВ ВС и АС равны.Скалярным произведение векторов и называется число . Угол между двумя ненулевыми векторами - это величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Угол между векторами не зависит от выбора той точки, от которой он откладываются: Свойства скалярного произведенияК первому виду относим такие величины, как масса, энергия, длина, площадь и др. Величины первого вида определяются своими числовыми значениями в определенных единицах измерения. Чтобы определить величину второго вида, надо задать не только ее числовое значения (опять-таки в определенных единицах измерения), но и направление. Такие величины называют векторными, или векторами. Таким образом, чтобы задать векторную величину, надо задать одновременно и скалярное значения (или числовое значения при выбранной единицы измерения) и направление.Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы Задача 2: Даны 4 точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1; Найдите косинус угла между векторами АВ и CD. Дан вектор . Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1; 1;Решите уравнение = 5 Исходя из ? ¦ ¦ имеем ^^ : = Решить уравнение х = 2 Рассмотрим векторы = (; ) и (х; Левая часть данного уравнения является скалярным произведением векторов и , а произведение их длин - правая часть.Решить систему уравнений х у = 2 х2 у2 = 4 В соответствии с неравенством • ? ¦ ¦• ¦ ¦ и с учетом второго уравнения системы имеем: х у ? 2 . Знак равенства имеет место, если = х2 у2 = 4 Решить систему уравнений Решение: Представим первое уравнение системы в следующем виде, а второе - оставим без изменений Из чего же надо исходить - мы должны так перемножить соответственные координаты векторов и , чтобы их скалярное произведение равнялось левой части второго уравнения системы.Для любых действительных чисел докажите неравенство: ? Что и требовалось доказать. Докажите неравенство: а • 2х b • 3у 1 ? • В силу векторного неравенства • ?¦ ¦• ¦ ¦ данное неравенство доказано. Для любых действительных чисел а, в и с доказать неравенство. а4 b4 с4 ? а2 b2 b2 с2 с2 а2Примененный нами векторный метод показывает, что довольно большое число примеров на решение уравнений, систем уравнений, доказательство неравенств, особенно задач на нахождение наибольших и наименьших значений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху. Итогом нашего увлечения стало, то, что мы намного лучше стали понимать роль векторов в математике, взаимосвязь курса алгебры и геометрии. Согласитесь, что три векторных неравенства являются тем звеном, используя которые мы показали эффективность применения векторов в отдельных разделах курса алгебры.
План
Содержание
Введение
Раздел 1. Теоретическая часть
1.1 Понятие вектора
1.2 Определение векторов
1.3 Действия над векторами
1.3.1 Сложение векторов
1.3.2 Скалярное произведение векторов
1.4 Использование векторов
Раздел 2. Практическая часть
2.1 Решение геометрических задач
2.2 Решение уравнений
2.3 Решение систем уравнений
2.4 Доказательство неравенств
Вывод
Список использованной литературы
Введение
Изучение свойств векторов, а также действия над ними занимает одно из значительных мест в изучении школьного курса математики, потому что является базой для дальнейшего усвоения разделов начертательной геометрии в ВУЗАХ. Знания о векторах помогут вам выполнить некоторые задачи с внешнего независимого тестирования.
Задания по данной теме будут способствовать развитию математических способностей, а также позволят решать большой круг интересных задач, разными методами.
Целью моей работы было составить учебник - практикум по данной теме. Он будет содержать правила и теоретические сведенья по теме, а так же примеры решения задач с полным объяснениям к ним.
Перед авторами были поставлены следующие задачи: 1. Подобрать литературу по выбранной теме.
2. Изучить материал.
3. Подобрать и систематизировать материал.
4. Представить теоретическую и практическую часть.
Практическое значение моей работы заключается в том, что данная работа может быть использована на уроках математики, как учебное пособие по исследуемой теме.
При написании научно-исследовательской работы были использованы такие методы как анализ, систематизация, классификация, обобщение.
Работа состоит из двух разделов: раздел 1 - теоретическая часть, в которой рассматриваются понятие вектор, определение векторов и действия над ними; раздел 2 - практическая часть, в которой предложены задачи с полным объяснением решения.
Вывод
Примененный нами векторный метод показывает, что довольно большое число примеров на решение уравнений, систем уравнений, доказательство неравенств, особенно задач на нахождение наибольших и наименьших значений существенно упрощается по сравнению с решениями, выполненными традиционным путем, а в некоторых случаях, особенно, когда много переменных, только такой подход и приводит к успеху.
Итогом нашего увлечения стало, то, что мы намного лучше стали понимать роль векторов в математике, взаимосвязь курса алгебры и геометрии. Согласитесь, что три векторных неравенства являются тем звеном, используя которые мы показали эффективность применения векторов в отдельных разделах курса алгебры. Кроме того, векторы позволяют "сжать" информацию, сделать ее наглядной и оперативной, и тем самым способствуют поиску путей решения математических заданий, что очень важно. И заметим, что приведенные выше решения задач не обладают для многих из нас признаком привычности, хотя они соответствуют школьной программе.
Необходимо отметить и то, что порой аналогичные задания являются частью более сложных задач. Например, при решении уравнений методом оценки: в которых максимум левой части совпадает с минимумом правой части; причем решение обычным путем не предоставляется возможным.
Надеемся, что метод решения заданий, обобщенный нами, может оказать вам активную помощь при подготовке к итоговым и приемным испытаниям. Также будет способствовать развитию и обогащению вашей математической культуры, а значит общечеловеческой культуры.
Список литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики - 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992. - 464с.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. средних школ - М.: Просвещение, 1992. - 207 с.
3. Атанасян Л.С. Геометрия.7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. - М.: Издательство "Просвещение", 2010. - 384 с.: ил.
4. Атанасян Л.С. Геометрия.10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. - 18-е изд. - М.: Издательство "Просвещение", 2009. - 255 с.: ил.
5. Атанасян Л.С. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. Изучение геометрии в 7-9 классах. Пособие для учителей. - 7-е изд. - М., Издательство "Просвещение", 2009,. - 255 с.
6. Атанасян Л.С. Геометрия, ч.I. Учеб. пособие для студентов физ. - мат. фактов пед. ин-тов. - М.: Издательство "Просвещение", 1973 - 480 с.: ил
7. Бурмистрова. Т.А. Геометрия.7-9 класс. Программы общеобразовательных учреждений. - М.: Издательство "Просвещение", 2010. - 126 с.
8. Бурмистрова Т.А. Геометрия.10-11 класс. Программы общеобразовательных учреждений. - М.: Издательство "Просвещение", 2009. - 96 с.
