Деякі лінійні та нелінійні еквівалентні перетворення гауссівських мір у гільбертовому просторі - Автореферат

Поставлена задача розвязується для випадкових полів, які є розвязками крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь у евклідовому просторі з гауссівським полем у правій частині, а також для розвязання еволюційних диференціальних рівнянь із гауссівськими збуреннями у гільбертовому просторі. Іншими словами вони обчислювали щільність міри, яка відповідала процесу, отриманому із вінерівського процесу за допомогою деякого перетворення міри. Інтерес до цієї задачі пояснюється наступним: якщо для двох випадкових процесів відомо, що відповідні ним міри еквівалентні, то: 1) всі властивості, які виконуються с вірогідністю 1 для одного процесу, будуть виконані з вірогідністю 1 і для другого процесу; 2) якщо відома щільність однієї міри відносно другої, то можна обчислити середні значення функціоналів від процесу за допомогою середніх значень функціоналів другого процесу (зокрема, можна виразити скінченомірний розподіл одного процесу через відповідні розподіли другого процесу); Робота виконувалася в рамках теми “Граничні теореми для випадкових процесів і їхнє застосування до задач статистики процесів і стохастичних диференціальних рівнянь” (шифр теми 1.1.4.5, номер теми за планом ІПММ - 5).У другому розділі розглядаються лінійні перетворення гауссівських мір, які индуковані рішеннями лінійних диференціальних рівнянь у-мірному евклідовому просторі і рішеннями лінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі . Теорема 2.1.1 Якщо число є регулярним для операторів у , і норма операторів задовольняє умові , ; то міри і , породжені випадковими полями і відповідно, еквівалентні і щільність має вигляд Нехай у гільбертовому просторі задані два лінійних еволюційних диференціальних рівняння: , , , , для яких будемо припускати наступне: а) оператори є сімейством лінійних необмежених операторів із щільної, незалежної від областю визначення , б) операторне сімейство є виробляючим для еволюційного сімейства обмежених операторів при , що діють у сильно неперервна залежних від і і задовольняючій умові: , в) оператори , є, взагалі кажучи, сімейством необмежених операторів з тією же областю визначення , що й оператори , але такі, щоб оператори , при кожному були б обмеженими операторами в і , , г) - гауссівський випадковий процес, визначений на відрізку зі значеннями з і з нульовим математичним сподіванням , а його кореляційна операторна функція задовольняє умові: . Теорема 2.2.1 Якщо число є регулярною крапкою, інтегральних в операторів : , , і , , то міри і , породжені випадковими процесами і відповідно, еквівалентні і щільність має вигляд: , де символ позначає розширений стохастичний інтеграл, - символ регуляризованого детермінанта, - простір функцій, визначених на відрізку зі значеннями з і, що інтегруються зі своїм квадратом по нормі , - інтегральний оператор, породжений ядром , і - кореляційні оператори гауссівських елементів і у відповідно.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У процесі дослідження отримані наступні основні результати: · знайдено достатні умови еквівалентності мір, що відповідають рішенням двох крайових задач Діріхле лінійних і нелінійних, обурених гауссовим полем;

· знайдено достатні умови еквівалентності мір, породжених рішеннями двох еволюційних рівнянь лінійних і нелінійних у гільбертовом просторі з гауссовим збурюванням;

· отримано формули щільностей мір у термінах коефіцієнтів вихідних рівнянь;

· вирішено задачу про абсолютну безперервність гауссової міри при нелінійному перетворенні, що містить “випадковий” параметр.

1. Фомина Т.А. О плотностях вероятностных мер в гильбертовом пространстве при их нелинейных преобразованиях, содержащих “случайный параметр”.// Доповіді НАН України. -2003. №12. -с.34-37.

2. Фомина Т.А. Об эквивалентности двух гауссовых мер порожденных решениями эллиптических дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве .// Доповіді НАН України. -2004. №1. -с.32-37.

3. Фомина Т.А. Об эквивалентности двух гауссовых мер порожденных решениями линейных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве .// Доповіді НАН України. -2004. №2. -с.37-42.

4. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности мер при некоторых линейных и нелинейных эволюционных преобразованиях гауссовских процессов в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. Донецьк -2000. №2. -с.105-119.

5. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Некоторые необходимые и достаточные условия, обеспечивающие эквивалентность двух гауссовских мер, индуцируемых решениями дифференциальных уравнений в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. Донецьк -2002. №1. -с.61-80.

6. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. О мерах, порожденных уравнениями со случайными коэффициентами.// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. Донецьк -2002. №2. -с.61-80.

7. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности двух гауссовских мер в евклидовом и гильбертовом пространствах. Случайные операторы и стохастические уравнения.// Utrecht, the Netherlands, Tokyo, Japan. -2003. vol.11, no.4. -p.351-371.

8. Фомина Т.А., Сохадзе Г.А., Шаташвили А.Д. Некоторые достаточные условия, эквивалентности мер, индуцируемых решениями уравнений со случайными коэффициентами.// Utrecht, the Netherlands, Tokyo, Japan. -2003. vol.12, no.3. -p.267-275.

9. Фомина Т.А., Чкония Т.Г., Шаташвили А.Д. Некоторые замечания об абсолютной непрерывности распределений решений различных краевых задач.// Теория случайных процессов. -1998. вып.4(20). №1,2. -с.95-104.

10. Фомина Т.А., Чкония Т.Г., Шаташвили А.Д. Абсолютная непрерывность распределений решений разных краевых задач.// Тезисы докладов, Донецкий коллоквиум “Вероятность и статистика”, присвячений 80-річчю І.І. Гіхмана, Донецьк, Україна, 24-28 травня 1998 г.-с.39-40..

11. Tamara A. Fomina, Albert D. Shatashvili. Densities of the measures generated by the solutions of the evolutional differential equations in Hilbert space.// Тезисы докладов, III украинско-скандинавская международная конференция по теории вероятностей и математической статистике, Київ, Україна, 8-12 червня 1999 г.-с.43.

12. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности двух гауссовских мер, индуцируемых решениями линейных дифференциальных уравнений в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Тезисы докладов, Международная конференция “Стохастический анализ и его применения”, Львів, Україна, 10-17 червня 2001 г.-с.70-71.

13. Tamara A. Fomina, Albert D. Shatashvili. Some remarks on the equivalence of measures under nonlinear mapping of Gaussian measures in abstract Hilbert space.// Тезисы докладов, Международная конференция, посвященная 90-летию Б.В. Гнеденко, Київ, Україна, 3-7 червня 2002 г.-с.220.

14. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Плотности Радона-Никодима для мер, порожденных решениями нелинейных краевых задач в пространстве .// Тезисы докладов, Международная конференция “Функциональные методы в теории аппроксимации, теории операторов, стохастического анализа и статистики II”, посвященная памяти А.Я. Дороговцева, Київ, Україна, 1-5 жовтня 2004 г.-с.126-127.