Деякі класи рухів важкого гіростата зі змінним гіростатичним моментом - Автореферат

Математичною моделлю руху багатьох технічних обєктів, деформацією яких можна знехтувати, можуть служити диференціальні рівняння руху абсолютно твердого тіла. Рівняння руху ним були записані у найбільш зручній для аналізу формі - у повязаних з тілом головних осях еліпсоїда інерції. Ковалевська вказали ще два випадки інтегрованості, в яких обмеження накладаються тільки на розподіл мас тіла. Методи дослідження руху твердого тіла можуть бути застосовані і для системи тіл, якщо під час руху розподіл мас в ній не змінюється, зокрема, коли система є гіростатом. Наприклад, гіростатом є тілоносій із закріпленими на ньому симетричними маховиками або тіло із порожнинами, заповненими ідеальною рідиною, що не стискається.Нехай механічна система складається з тіланосія закріпленого в точці , та декількох приєднаних тіл Звяжемо з точкою абсолютну систему координат та введемо позначення: - вектор, що зєднує т. та центр мас тіла ; - орт спільної осі тіл та , яка є головною центральною віссю тіла ; - момент інерції i-го приєднаного тіла відносно осі, направленої вздовж , а - момент інерції відносно двох інших головних осей; - тензор інерції носія в т. Тому рівняння руху гіростата з закріпленою точкою в полі сили тяжіння, які записані у відносному базисі, мають вид де - одиничний вектор вертикалі, а - вектор, що направлений з т. до центру мас системи, причому дорівнює добутку відстані між цими точками і ваги гіростата. Гіростат з гіростатичним моментом може здійснювати рівномірне обертання зі швидкістю навколо нерухомої осі, що складає з вертикаллю кут , тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються умови: - гіростатичний момент направлений вздовж осі обертання, яка ортогональна прямій, що містить центр мас та нерухому точку; Компоненти гіростатичного моменту, що реалізує рівномірне обертання з кутовою швидкістю , будуть обмеженими (і періодичними) тоді і тільки тоді, коли виконується хоча б одна з умов: центр мас системи співпадає з нерухомою точкою (); В третьому випадку вектор гіростатичного моменту , необхідний для реалізації обертання навколо похилої осі, яка складає з вертикаллю кут має вигляд де компоненти постійних векторів і визначаються рівностямиВ дисертації повністю вивчено найбільш важливі класи рухів гіростата, який обертається навколо нерухомої точки в полі сили тяжіння. У припущенні, що компоненти змінного гіростатичного момента є неперервно диференційовними, обмеженими разом зі своїми похідними функціями часу, отримано нові сімейства точних розвязків задачі про рух гіростата. Для гіростата з фіксованим у рухомому базисі напрямом гіростатичного моменту отримано повний перелік можливих рівномірних обертань навколо похилої осі, обчислена залежність кута нахилу осі обертання від розподілу мас та кутової швидкості гіростата; виписано та проаналізовано умови допустимості обертання; наведено значення абсолютної величини відповідного гіростатичного момента. Вперше знайдено необхідні та достатні умови існування маятникових рухів. Виписано розвязки рівнянь руху; отримано і проаналізовано співвідношення між швидкостями прецесії та власного обертання.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В дисертації повністю вивчено найбільш важливі класи рухів гіростата, який обертається навколо нерухомої точки в полі сили тяжіння. У припущенні, що компоненти змінного гіростатичного момента є неперервно диференційовними, обмеженими разом зі своїми похідними функціями часу, отримано нові сімейства точних розвязків задачі про рух гіростата. Наведемо перелік основних результатів роботи.

1. Для гіростата з фіксованим у рухомому базисі напрямом гіростатичного моменту отримано повний перелік можливих рівномірних обертань навколо похилої осі, обчислена залежність кута нахилу осі обертання від розподілу мас та кутової швидкості гіростата; виписано та проаналізовано умови допустимості обертання; наведено значення абсолютної величини відповідного гіростатичного момента.

2. Вперше знайдено необхідні та достатні умови існування маятникових рухів. Показано, що такі рухи можливі навколо вертикальної, горизонтальної (як головної, так і не головної) та похилої осі. Отримано явні залежності від часу фазових змінних та модуля гіростатичного моменту. На основі цих залеж-ностей маятникові рухи розділено на коливання та нерівномірні обертання.

3. Доведено теорему про необхідні та достатні умови існування регулярних прецесій навколо вертикальної осі. Виписано розвязки рівнянь руху; отримано і проаналізовано співвідношення між швидкостями прецесії та власного обертання.

4. Вперше знайдено необхідні та достатні умови існування регулярних прецесій навколо похилої осі. Показано, що швидкість прецесії може бути не тільки рівною швидкості власного обертання, як у випадку сталого гіростатичного моменту, але і вдвічі більшою за неї. В явному вигляді виписано відповідний точний розвязок рівнянь руху.

5. Знайдено новий клас регулярних прецесій, при яких вісь власного обертання та вектор гіростатичного моменту не належать жодній головній площині, що неможливо для звичайного гіростата. Отримано розвязок рівнянь руху, який при відсутності гіростатичного моменту перетворюється на відомий розвязок Гріолі.

6. Для гіростата зі змінним напрямком гіростатичного моменту вказано всі рівномірні обертання, які можуть бути реалізовані у випадку обмежених за часом компонент гіростатичного моменту. Розвязана задача асимптотичної стабілізації заданого рівномірного обертання твердого тіла навколо похилої (не горизонтальної) осі за допомогою трьох маховиків. Відповідне керування знайдено у вигляді лінійного зворотного звязку.

1. Волкова О.С. О стабилизации равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховики / О.С. Волкова // Труды ин-та прикл. математики и механики. - 2007. - Т. 14 - С. 41-51.

2. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / О.С. Волкова // Механика твердого тела - 2008. - Вып. 38. - С. 80-86.

3. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси / О.С. Волкова // Труды ин-та прикл. математики и механики. - 2009. - Т.19 - C. 30-35.

4. Волкова О.С. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом / O.C. Волкова, И.Н. Гашененко // Механика твердого тела. - 2009. - Вып. 39. - С. 42-49.

5. Волкова О.С. Стабилизация равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси с помощью трех маховиков / О.С. Волкова // Международная конференция «Классические задачи динамики твердого тела», посвященная 300-летию со дня рождения Л.Эйлера. Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2007. - С. 17.

6. Волкова О.С. Задача реализации и стабилизации равномерных вращений твердого тела округ наклонной оси с помощью маховиков / О.С. Волкова // 10-я международная научно-техническая конференция «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2007. - С. 117.

7. Волкова О.С. Реализация равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси с помощью ротора / О.С. Волкова // 10-я международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. - С. 15-16.

8. Волкова О.С. Описание классов равномерных вращений твердого тела вокруг наклонной оси, реализуемых одним маховиком / О.С. Волкова // 11-я международная научно-техническая конференция «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2008. - С. 75.

9. Волкова О.С. Точные решения задачи о движении твердого тела с маховиком / О.С. Волкова // 12-я международная научно-техническая конференция «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Тезисы докладов. - Донецк: Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, 2009. - С. 78.