Деякі класи операторів, що діють в просторах аналітичних функцій і пов’язані з комутаційними співвідношеннями - Автореферат

Питання зображення лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і задовольняють певні комутаційні співвідношення, які повязані з операторами типу інтегрування, диференціювання і множення на аналітичні функції, вивчалися в роботах багатьох математиків. Науковий інтерес до вивчення таких операторів пояснюється тим, що вони відіграють важливу роль в деяких розділах математики та суміжних дисциплінах (теоретична та ядерна фізика, теорія пружності, тощо). Комутанти операторів використовуються при знаходженні загального вигляду операторів перетворення даного оператора до простішого вигляду, дослідженні умов базисності та повноти різних систем аналітичних функцій, знаходженні циклічних елементів різних операторів, вивченні структури інваріантних підпросторів фіксованого оператора, для побудови нетривіальних згорток деяких операторів та розвязуванні інших задач. Для лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій, в першу чергу вивчалися різні зображення комутанта оператора диференціювання, оскільки саме поняття аналітичної функції тісно повязане з операцією диференціювання. Після цього почала розроблятися теорія лінійних неперервних операторів, що діють у певних просторах аналітичних функцій і комутують з операторами узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування.Для того щоб оператор T I L(S) був переставним з оператором , необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді диференціального оператора нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами Для того щоб оператор T I L(S) був переставним з оператором Da, необхідно і достатньо, щоб оператор T був переставним з деяким оператором узагальненого зсуву при h ? 0. Для того щоб оператор у просторі H(G1) був еквівалентним до оператора в просторі H(G2) необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова Для того, щоб оператор T лінійно і неперервно діяв у просторі і був переставним з оператором необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді де - послідовність цілих функцій, періодичних з періодом h, які задовольняють умову а - послідовність функцій експоненціального типу, для яких функція задовольняє умову Для того, щоб оператор T I L(H(D)) був переставним з оператором необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді де - аналітична на деякій множині функція, яка задовольняє умову (4), а контур інтегрування вибраний для за означенням локально аналітичної на множині CD?D функції , яка визначається формулою (5).Дисертаційна робота присвячена знаходженню нових класів лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і задовольняють певні комутаційні співвідношення.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота присвячена знаходженню нових класів лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій і задовольняють певні комутаційні співвідношення.

В дисертації отримано наступні результати: - описано розвязки операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого зсуву, які породжені оператором Поммє і діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях;

- у просторі цілих функцій одержано зображення комутантів операторів, які є лінійними комбінаціями зсувів;

- знайдено зображення лінійних неперервних операторів, які діють у просторі аналітичних у одиничному крузі функцій і є переставними з операторами композиції, що породжені еліптичними, гіперболічними та параболічними автоморфізмами цього круга;

- в просторах функцій, аналітичних у довільних областях, вивчені властивості лінійних неперервних операторів, які є лівими оберненими до множення на незалежну змінну;

- досліджені критерії еквівалентності в просторах аналітичних функцій операторів узагальненого зсуву та операторів композиції, що породжені еліптичними автоморфізмами одиничного круга;

- одержано характеристику циклічних елементів для операторів, які є лівими оберненими до множення на незалежну змінну;

- досліджено зображення розвязків інтегро-диференціальних операторних рівнянь відносно операторів узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування Гельфонда-Леонтьєва.

Для обгрунтування результатів дисертації застосовуються інтегральне зображення Кете лінійних неперервних операторів, які діють у просторах функцій, аналітичних у довільних областях, а також, взаємозвязок між такими операторами і різними видами їхніх характеристичних функцій.

Результати дисертаційної роботи та методи досліджень, які в ній застосовуються, мають теоретичний характер. Їх можна використати в теорії лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій однієї та багатьох змінних.

1. Лінчук Ю.С. Комутант оператора узагальненого зсуву // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. - 1999. - Вип 46. Математика. - С. 72 - 75.

2. Лінчук Ю.С. Комутант оператора композиції, породженого еліптичним дробово-лінійним перетворенням, та його застосування // Наук. вісник Чернівецького ун-ту. - 2004. - Вип. 228. Математика. - С. 48 - 50.

3. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів композиції в просторах аналітичних функцій // Доповіді НАН України. - 2005, № 11. - С. 14 - 17.

4. Лінчук Ю.С. Про еквівалентність диференціальних операторів нескінченного порядку // Наук. вісник Чернівецького ун-ту. - 2005. - Вип. 239. Математика. - С. 89 - 91.

5. Linchuk Yu. S. Cyclical elements of operators which are left-inversed to multiplication on independent variable // Methods of Funct. Anal. and Top. - 2006. - 12, №4. - Р. 343 - 348.

6. Лінчук Ю.С. Зображення розвязків одного інтегро-диференціального операторного рівняння // Укр. мат. журнал. - 2007. - 59. №1. - С. 134 - 137.

7. Лінчук Ю.С. Деякі властивості операторів, що повязані з узагальненим зсувом, породженим оператором Поммє // Математичний вісник НТШ. - 2005. - Т.2. - С. 114 - 122.

8. Лінчук Ю.С. Про зображення операторів, що комутують з узагальненим зсувом. - Сучасні проблеми математики: Матеріали Міжнародної наукової конференції. Частина.2. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1998. - 286 с.

9. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів, повязаних з оператором зсуву // Міжнародна наукова конференція памяті В.Я. Буняковського (16-21 серпня 2004 р., м. Київ). Тези доп. - Київ: 2004. - c. 91 - 92.

Лінчук Ю.С. Деякі властивості диференціальних операторів нескінченного порядку, що повязані з узагальненим зсувом // Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. International Conference DSMSI. Thesis of conference reports May 23-25, 2005. - Kyiv, 2005. - c. 79.

10. Лінчук Ю.С. Комутант одного класу операторів, що повязані з узагальненим зсувом відносно оператора Поммє // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача. Тези доповідей. - Львів, 2005. - с. 204 - 205.

11. Лінчук Ю.С. Деякі класи операторів, що повязані комутаційними співвідношеннями з узагальненим зсувом // Вісник Київського національного університету ім. Т. Шевченка. Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей 6-9 червня. - Київ, 2005. - c. 56.

12. Лінчук Ю.С. Про один клас операторних рівнянь, що містять оператори композиції // International conference modern problems and new trends in probability. Abstract ІІ - Chernivtsi, June 19-26, 2005. - C. 13.

13. Лінчук Ю.С. Комутант деяких класів операторів, що породжені автоморфізмами одиничного круга // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і суміжні питання" Тези доп. - Львів: 2005. - c. 56.

14. Лінчук Ю.С. Деякі комутаційні властивості операторів, що є лівими оберненими до множення на незалежну змінну // Матеріали ХІ-ої Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006 р., Київ) - К.: ТОВ "Задруга", 2006. - С.494.

15. Лінчук Ю.С. Циклічні елементи одного класу операторів // Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей 11-14 жовтня. - Чернівці, 2006. - c. 89.