Детермінований хаос у динамічних системах з обмеженим збудженням - Автореферат

Найбільш істотним є те, що детермінований хаос не є якимось винятковим режимом поведінки динамічних систем, навпаки, такі режими спостерігаються в дуже багатьох динамічних системах, які розглядаються в математиці, фізиці, хімії, біології, медицині та економіці. Математичним образом детермінованого хаосу найчастіше виступають так звані дивні атрактори - складним чином утворені граничні множини у фазових просторах динамічних систем. Теорія систем з обмеженим збудженням досліджує взаємодію коливальних систем із джерелами збудження їхніх коливань. Відкриття детермінованого хаосу стимулювало появу нового розділу в теорії систем з обмеженим збудженням, повязаного з пошуком хаотичних режимів взаємодії коливальних систем з джерелами збудження коливань. Застосовано новий підхід, завдяки якому побудовано енергетично коректні математичні моделі деяких маятникових систем як в вигляді систем диференціальних рівнянь без відхилення аргумента, так і в вигляді систем диференціальних рівнянь з запізненням, а також в вигляді систем диференціальних рівнянь нейтрального типу.1а-б, існує кілька інтервалів зміни , в яких система має додатний ляпуновський показник. В підрозділі 3.2 ретельно вивчені фазові портрети, перерізи і відображення Пуанкаре, часові реалізації фазових змінних, розподіли спектральної густини і інваріантної міри атракторів різних типів, які існують в системі (2). Як було показано в роботах Дж.Майлса, при ідеальному збудженні в цій системі не існує усталених хаотичних режимів. В підрозділі 3.3 показано, що врахування нелінійної взаємодії сферичного маятника з двигуном, який збуджує його коливання, дозволяє виявити існування детермінованого хаосу в системі. В деяких випадках, завдяки наявності запізнювання положення рівноваги системи першого наближення будуть стійкими (нестійкими) незалежно від інших значень параметрів системи.Застосовано новий підхід, завдяки якому побудовано енергетично коректні математичні моделі деяких маятникових систем як у вигляді систем диференціальних рівнянь без відхилення аргумента, так і у вигляді систем диференціальних рівнянь з запізненням, а також у вигляді систем диференціальних рівнянь нейтрального типу. Отримано фазопараметричні характеристики та спектри ляпуновських характеристичних показників систем. Побудовано та детально проаналізовано фазові портрети, перерізи й відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри і розподіли спектральної густини хаотичних атракторів. Встановлено, що запізнювання в системах "маятник-електродвигун" може відігравати роль своєрідного енергетичного регулятора, що приводить до істотного збільшення кількості усталених режимів взаємодії, сприяє появі незвичайних усталених режимів, при яких швидкість обертання вала двигуна досягає значень, які перевищують швидкість обертання вала без коливального навантаження, та відіграє роль керуючого впливу при стабілізації коливань маятника. При змінах значень запізнювання в системі спостерігається велика розмаїтість змін типу усталених режимів вигляду "хаос-порядок" або "порядок-хаос".

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Таким чином, у дисертації отримані наступні нові наукові результати.

Для маятникових систем: 1. Застосовано новий підхід, завдяки якому побудовано енергетично коректні математичні моделі деяких маятникових систем як у вигляді систем диференціальних рівнянь без відхилення аргумента, так і у вигляді систем диференціальних рівнянь з запізненням, а також у вигляді систем диференціальних рівнянь нейтрального типу.

2. Вперше показано існування хаотичних атракторів у розглянутих маятникових систем, незважаючи на те, що їхнє існування в деяких випадках раніше вважалося неможливим.

3. Докладно проаналізований вплив параметрів маятника й джерела збудження його коливань (електродвигуна) на виникнення, розвиток і зникнення детермінованого хаосу. Описані сценарії переходу від регулярних коливань до хаотичних, і навпаки.

4. Отримано фазопараметричні характеристики та спектри ляпуновських характеристичних показників систем. Побудовано та детально проаналізовано фазові портрети, перерізи й відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри і розподіли спектральної густини хаотичних атракторів.

5. Встановлено, що запізнювання в системах "маятник-електродвигун" може відігравати роль своєрідного енергетичного регулятора, що приводить до істотного збільшення кількості усталених режимів взаємодії, сприяє появі незвичайних усталених режимів, при яких швидкість обертання вала двигуна досягає значень, які перевищують швидкість обертання вала без коливального навантаження, та відіграє роль керуючого впливу при стабілізації коливань маятника.

Для систем "генератор-випромінювач": 1. Досліджено нову математичну модель, що описує процес взаємодії коливальних режимів пєзокерамічного випромінювача та задавального електрогенератора.

2. Вивчено вплив зміни параметрів генератора (ємності, індуктивності, опору, характеристик лампи) на виникнення усталених режимів коливань системи.

3. В даній детермінованій системі було виявлено кілька типів хаотичних атракторів, у тому числі й два типи гіперхаотичних.

4. Встановлено та пояснено помітні відмінності у фазових портретах, перерізах і відображеннях Пуанкаре, розподілах інваріантної міри й спектральної густини в існуючих у системі хаотичних атракторів.

5. Показано, що системі властиві багато з існуючих в нелінійній динаміці сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних. Виявлено переходи "порядок-хаос" за сценарієм Фейгенбаума, через переміжність першого типу за Помо-Манневіллем, жорсткі переходи до хаосу.

6. Для вивчення впливу різноманітних факторів запізнювання побудовано математичну модель системи в вигляді системи диференціальних рівнянь з відхиленням аргумента.

7. Показано, що фактори запізнювання істотно впливають на динаміку системи. При змінах значень запізнювання в системі спостерігається велика розмаїтість змін типу усталених режимів вигляду " хаос-порядок" або " порядок-хаос".

8. Встановлено, що існування детермінованого хаосу в системі пояснюється, головним чином, взаємодією між підсистемами (генератором і випромінювачем), а не автономними властивостями кожної з підсистем окремо.

Для систем "бак з рідиною-електродвигун": 1. Вивчено вплив параметрів бака, рідини та джерела збудження коливань (електродвигуна) на появу, розвиток і зникнення детермінованого хаосу в системі.

2. Встановлено існування кількох типів хаотичних атракторів досліджуваних детермінованих динамічних систем типу "бак з рідиною-електродвигун", у тому числі так званих одномодових і двоходових атракторів.

3. Виявлено і описано новий сценарій переходу до хаосу, який узагальнює класичний сценарій Помо-Манневілля.

4. Побудовано і ретельно проаналізовано основні характеристики хаотичних атракторів системи, а саме, ляпуновські характеристичні показники, фазові портрети, перерізи та відображення Пуанкаре, розподіли природної інваріантної міри, розподіли спектральної густини.

5. Виявлено існування хаотичних атракторів у випадку параметричного резонансу в системі, що раніше вважалося неможливим.

6. Показано, що перехід до хаосу може відбуватися за різними сценаріями, такими як: каскад біфуркацій подвоєння періоду (сценарій Фейгенбаума), переміжність (класична і узагальнена), жорсткий перехід.

7. Виділені випадки, в яких хаотична динаміка отриманої системи диференціальних рівнянь пятого порядку може бути апроксимована за допомогою одновимірного дискретного відображення.

1. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Бояршина Л.Г., Краснопольская Т.С., Подчасов Н.П., Пучка Г.Н., Холопова В.В., Швец А.Ю. Нелинейная динамика осесимметричных тел, несущих жидкость. - К.: Наук. думка, 1992. --- 184 с.

2. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Взаимодействие маятниковых систем с неидеальным источником энергии при наличии запаздывания // Theoretical and Applied Mechanics. - 1985. - Vol. 16, № 3. - P. 16---18.

3. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Запаздывание как энергетический регулятор при стабилизации маятника неидеальным источником энергии // Машиноведение. - 1985. - № 5. - С. 32-37.

4. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю. Высокочастотная стабилизация маятника неидеальным источником энергии при наличии запаздывания} // Прикл. мех. - 1985. - Т. 21, № 10. - С. 102---109.

5. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Резонансное взаимодействие маятника с механізмом возбуждения при наличии запаздывания воздействий // Прикл. мех. - 1987. - Т. 23, № 2. - С. 82-89.

6. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Хаотические режимы взаимодействия в системе "маятник-источник энергии" // Прикл. мех. - 1990. - Т. 26, № 5. - С. 90-6.

7. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Регулярные и хаотические поверхностные волны в жидкости при ограниченном возбуждении колебаний цилиндрического бака // Прикл. мех. - 1990. - Т. 26, № 8. - С. 85---93.

8. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Свойства хаотических колебаний жидкости в цилиндрических баках // Прикл. мех. - 1992. - Т. 28, № 6.- С. 52 -61.

9. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Хаотические колебания сферического маятника как эффект взаимодействия с источником энергии // Прикл. мех. - 1992. - Т. 28, № 10. - С. 61-68.

10.{ Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Структура хаоса при колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Мат. методы исслед. прикладных задач динамики тел, несущих жидкость. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1992. - C. 52-66.

11. Краснопольская~Т.~С., Швец~А.~Ю. Параметрический резонанс в системе "жидкость в баке-электродвигатель" // Прикл. механика. - 1993. - Т. 29, № 9. - С. 52---61.

12. Краснопольская~Т.С., Швец~А.Ю Детерминированый хаос в системе генератор-пьезокерамический излучатель // Нелинейная динамика. - 2006. - Т. 2, № 1. - С. 55-74.

13. Швец~А.Ю. Влияние переменного запаздывания на устойчивость колебаний маятника с вибрирующим подвесом // Укр. мат. журн. - 1985. - Т. 37, № 1. - С. 127-129.

14. Швец~А.Ю. Резонансные колебания маятника при учете факторов переменного запаздывания // Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений : Сб. научн. тр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - C. 173-179.

15. Швец~А.Ю. Динамическая устойчивость системы "маятник-эксцентриковый возбудитель" при учете запаздывания // Математическая физика и нелинейная механика. - 1987. - №8(42). - С. 29-34.

16. Швец А.Ю. Хаотические режимы взаимодействия в детерминированной системе "генератор-пьезокерамический излучатель" // Вопросы аналитической механики и ее применений: Праці Ін-ту математики НАН України. - 1999. - Т. 26. - C. 407-419.

17. Швец~А.Ю. Влияние запаздывания на режимы взаимодействия в системе

"генератор-пьезокерамический излучатель" // Вопросы механики и ее приложений: Праці Ін-ту математики НАН України. - 2002. - Т. 44. - C. 346-358.

18. Швец~А.Ю. Карта динамических режимов физического маятника при органиченном возбуждении // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2004. - Т.1, № 2. - С. 197-209.

19. Швець О.Ю., Краснопольська Т.С. Динамічний хаос в пєзокерамічних системах обмеженої потужності. Частина 1 // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 2. - С. 150-158.

20. Швець О.Ю., Краснопольська Т.С. Динамічний хаос в пєзокерамічних системах обмеженої потужності. Частина 2 // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 3. - С. 147---154.

21. Швець О.Ю. Детермінований хаос при коливаннях фізичного маятника // Наукові вісті Нац. тех. ун-ту України "КПІ". - 2006, № 4. - С. 85---91.

22. Швец А.Ю. Сценарии переходов "порядок-хаос" при резонансних колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 1. - С. 216-249.

23. Швец~А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 4. - С. 534-548.

24. Швец А.Ю. Динамический хаос в системе "бак с жидкостью электродвигатель" // Динамические системы. - 2007. - № 22. - С. 46-62.

25. Krasnopolskaya~T.S., Shvets~A.Yu. Chaotic oscillations of a spherical pendulum as the effect of interaction with excitation device // Complexity in Physics and Technology. -Singapore: World Scientific. - 1992. - P. 77-89.

26. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaos in vibrating systems with limited power-supply // Chaos. - 1993. - Vol. 3, № 3. - P.387-395.

27. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids & Structures. - 1994. - Vol. 8, № 1. -P. 1-18.

28. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Deterministic chaos in a system generator - piezoceramic transducer // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. - 2006. - Vol. 6, № 4. - P. 367-387.

29. Краснопольская Т. С., Швец А. Ю. Хаотические режимы движения в системах с ограниченным возбуждением // Всесоюзная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Тез. докл., Ч.1. - Тернополь. - 1989. - С. 219---220.

30. Краснопольская Т. С., Швец А. Ю. Хаос в колебательных системах с ограниченным возбуждением // Нелинейные колебания механических систем. Тез. докл. II Всесоюзной конференции, Ч.1 - Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та. - 1990. - С. 91-92.

31. Краснопольская Т. С., Швец А. Ю. Структура хаоса в баках с жидкостью // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики --- Вторые боголюбовские чтения. Тез. докл. - Киев. - 1992. - С. 78.

32. Краснопольская Т.С., Швец А.Ю. Хаос и гиперхаос в детерминированных системах "пьезокерамический преобразователь-генератор" // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннот. докл. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та. - 2006.- Т. 1. - С. 74.

33. Швец А.Ю. Хаотизация движений в некоторых динамических системах с ограниченным возбуждением при учете факторов запаздывания // Шестая Крымская Международная школа "Метод функцій Ляпунова - 2002". Тез. докл. - Симферополь: Изд-во Таврического нац. ун-та. - 2002. - С. 125.

34. Швец~А.Ю.{\it Бифуркации "порядок-хаос, в динамических системах с органиченным возбуждением, обусловленные влиянием запаздывания} // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. -Kyiv. - 2003. - P. 378.

35. Швец Г.А., Швец А.Ю. Хаос в детерминированных динамических системах типа "генератор-излучатель" при учете ограниченности возбуждения и факторов запаздывания // Седьмая Крымская Международная школа "Метод функций Ляпунова --- 2004". Тез. докл. - Симферополь: Изд-во

Таврического нац. ун-та. -2004. - С. 156.

36. Швец А.Ю. Мультипараметрические карты динамических режимов маятника при ограниченном возбуждении // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. - Kyiv. - 2005. - P. 224.

37. Швец А.Ю. Гиперхаос в детерминированной динамической системе "генератор-пьезокерамическийизлучатель" // Зб. праць акустичного сімпозіуму "Консонанс - 2005". - Київ: Ін-т гідромеханіки НАН України. - 2005. - С. 309-314.

38. Швец~А.Ю. Об особенностях перехода к детерминированному хаосу в некоторых гидродинамических системах // Междунаодная конференция "Анализ и особенности", посвященная 70-летию В.И. Арнольда. - М., Мат. ин-т РАН. - 2007. - С. 114---116.

39. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaos in dynamics of machines with a limited ьpower-supply // 8-th World Congr. on the Theory of Machines and Mechanisms. Eds. M. Okrolnick,L. Pust. Prague: Czechoslovak Acad. Sci, 1991. - Vol. 1- P. 181-184.

40. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Chaotic behaviour of surface waves in a tank // Abstracts International colloquim Euromech 275. - Lisboa: Institute of Super Technics, 1991. - P. 45.

41. Krasnopolskaya T. S., Shvets A. Yu. Low-dimensional models of chaotic surface waves in cylindrical and spherical tanks // 1-st European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge: University of Cambridge, 1991. - P.~81.

42. Krasnopolskaya T. S.,Shvets A. Yu. Chaos in vibrating systems with a limited power supply // Abstracts of ``CHAOS---IV"": American-Russian-Ukrainian Conference on Chaos. -Kiev, 1992. - P. 35.

43. Krasnopolskaya T. S.,Shvets A. Yu. Chaos in nonlinear systems with a limited power supply // International Conference Nonlinear Differential Equations, Kiev. - 1995. - P. 88.

44. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic interaction between fluid vibrations in a cylindrical tank and electromotor // Flow Induced Vibration. - Rotterdam: A.A.Balkema. Brookfield. - 1995. - P. 269-280.

45. Shvets A.Yu. Delay as a controlling factor in the oscillating system "pendulum-non ideal inducer" // Abstracts of International Conference of Nonlinear Oscillations "ICNO-XI". - Budapest, 1987. - P.332.

46. Shvets A.Yu. Chaotic Oscillation Of Pendulum Systems As Effect Of The Interaction With The Excitation Arrangement // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. Mechanical Systems. - Kyiv., 1999. - P. 100---101.

47. Shvets A.Yu. Delay influence on chaotic oscillations in some systems with limited power-supply} // Український Математичний Конгрес - 2001. Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. - С. 54-55.

48. Shvets A.Yu., Krasnopolskaya T.S. Hyper-chaos in piezoceramic systems with limited power-supply // IUTAM Symposium on hamiltoinian dynamics, vortex structures, turbulens. - Moscow: MIRAN. - 2006. - P.130-132.

49. Shvets A.Yu., Krasnopolskaya T.S. The New Scenario of Transition to Deterministic Chaos in One Hydrodinamic System at Limited Excitation // Dynamical System Modelling And Stability Investigation. - Kyiv, 2007. - P. 357.

50. Shvets A.Yu. The Deterministic Chaotic Oscillations of a Spherical Pendulum with Limited Excitation // Lyapunov Memorial Conference. - Kharkiv. - 2007. - P. 153-154.