Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки - Статья

Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей, что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Далее, возьмем две произвольные точки на линии a - N и M, и проведем через них две линии c и d как показано на Рис.2. Разделим угол E1AE2, в точках K1,K3, на три равных угла - LE1AK1, LK1AK3, LK3AE2 равных ?/3.Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение - невозможность его применения непосредственно для углов > 600, что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

трисекция угол циркуль

Трисекция угла - задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времен Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведенного утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей, что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Проведем прямую линию a и построим на ней ?CDE. Условно назовем его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведем еще одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами: 1. ?1-?3=y1; ?3-?5=y3; ?1-?5=y1 y3;

2. ?2-?4=y2; ?4-?6=y4; ?2-?6=y2 y4;

3. y1/y2 =y3/y4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - LC,LD,LE являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ?CDE. Тогда можно записать: LC LD LE=1800 - сумма углов ?CDE;

LC y2 LD-(y2 y1) LE y1=1800 - сумма углов ?CGE;

Пусть y1/y2=n или y1=n*y2, тогда, LC y2 LD-(y2 y1) LE n*y2=1800

Сумма углов ?CHE: LC (y2 y4) LD-(y2 y4 y1 y3) LE n*(y2 y4)=1800 , откуда y1 y3=n*(y2 y4) или y1 y3=n*y2 n*y4 и так как y1=n*y2, то y3=n*y4 и следовательно y1/y2 =y3/y4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a - N и M, и проведем через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (?1-?3)/(?3-?5)= (?2-?4)/(?4-?6)= y1/ y3= y2/ y4;

Деление угла на три равные части

На окружности с центром в точке A отложим угол E1AE2=? (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC1, C1AC2, C2AC3 каждый равный ?. Разделим угол E1AE2, в точках K1,K3, на три равных угла - LE1AK1, LK1AK3, LK3AE2 равных ?/3. Проведем прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E1 и C2,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K - пересечения линий, и точку K1 проведем прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K2 и проведем через нее две прямые из точек C и C2.

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y1/y2 =y3/y4=1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить любой угол ?600 на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла ?=500 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4 равные ?=500 - относительно центра окружности. Половину дуги C1C2 - CC1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B1 и D, и точки B3 и C. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведенных линий, между собой. Полученный угол ?=C1AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен ?/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C1C2=B1B2=B2B3=B1B4=?=500 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B1 и C, B3 и C1. Отложим углы y2=2y1 (см. Рис 4.2) от линий B1C и B3C1 и проведем прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведенных линий, между собой. Полученный угол ?=C1AG?16.670, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен ?/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла ?=500) показано на Рис. 5.

Деление угла на нечетное количество (>3-х) равных углов

В качестве примера рассмотрим деление угла ?=350 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C2AC1=B1AB2=B2AB3=B3AB4=B4AB5=B5AB6=?=350.(см. Рис.6)

Делим угол C2AC равный половине угла C2AC1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C2,B1,B2,B3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведенного примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечетное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B3E и B1C2 в точках B3 и B1 соответственно, отложим углы y1 и y2 в соотношении 1:4. Из точек B3 и B1 проведем прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C2AK=?=70 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ? угла C2AC1 - угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.

Построение правильного семиугольника

Примем, что n - число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n-1=2k(1), где k - любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n-1?2k(2) - то угол делится в два этапа, вначале на n-1, а затем уже на n. При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y1/y2 = 1/n-1(3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 600,умножить ее на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможны вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 600 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем уже на семь. С этой целью, разделим угол 300 на три равных сектора по 100(см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=100 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 600.

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 600 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D1CD2=600 симметрично к средней линии и угол D2CD3=600 примыкающий к нему. В точках D1 и D3 построим углы y1 и y2 к линиям D1E и D3L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) - то есть 1 к 6.

Проведем прямые линии под углами y1 и y2. Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=600/7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL еще шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение - невозможность его применения непосредственно для углов > 600, что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Размещено на .ru