Деформації уздовж орбіт потоків та їх застосування - Автореферат

Зокрема, з його результатів випливало, що для замкнутого р-многовиду M тотожна компонента звязності Did(M) його групи С?-дифеоморфізмів є простою групою. Зрозуміло, що група дифеоморфізмів D(F), що зберігає шари F, взагалі кажучи, не є простою, наприклад, будь-яка її підгрупа, що є нерухомою на деякому шарі ? шарування F, є нормальним дільником. Shulman (1979, 1982) досліджувались перешкоди до існування дій груп Лі і, зокрема, потоків, що є трансверсальними до заданого шарування на многовиді та залишають його інваріантним. Abe (1980) описано гомотопічний тип тотожної компоненти D?G(M)0 групи дифеоморфізмів D?G(M) звязного замкнутого многовиду M , що комутують з заданою гладкою дією групи Лі G за умови, що фактор-простір M/G гомеоморфний до відрізка [0, 1]. Предметом дослідження є: а) гладкі функції на поверхнях; б) векторні поля на многовидах та гладкі відображення многовидів в себе, що залишають інваріантними орбіти цих полів; в) відображення зсуву уздовж орбіт векторного поля. морс дифеоморфізм гомотопічний топологічнийДля підмножини HCK(M,N) позначимо через Ck(S,H) простір усіх Ck-відображень F:M?S>N таких, що відображення F = F (·,) : M > N належить до H для кожного S. В підрозділі 1.3 розглядається структура гладких функцій на поверхнях з ізольованими критичними точками, шарування множинами рівня та графи Кронрода-Ріба; в підрозділі 1.4 вивчається права дія групи дифеоморфізмів поверхні M на просторі гладких функцій на ній та встановлюються звязки між стабілізаторами функцій та дифеоморфізмами, що залишають інваріантними шарування таких функцій та граф Кронрода-Ріба; підрозділ 1.5 містить інформацію про твірні груп гомеотопій та груп Тореллі компактних поверхонь, а також про гомотопічний тип тотожних компонент їх груп дифеоморфізмів. Функцію ah назвемо функцією зсуву для відображення h, яке, в свою чергу, називатимемо зсувом уздовж орбіт потоку F за допомогою функції ah. Відображення JRV(a):V®M будемо називати зсувом уздовж орбіт потоку F, а функцію a - його функцією зсуву. В підрозділі 4.3 встановлюються прості властивості Р-функцій; в підрозділі 4.4 дається доведення теореми 4.1.1; в підрозділі 4.5 - накреслюється план доведення теореми 4.1.2; в підрозділі 4.6 встановлюються певні співвідношення між діаметрами та періодами періодичних орбіт потоку (лема 4.6.3); в підрозділі 4.7 ці співвідношення уточнюються для потоків, породжених векторними полями класу C1 (теорема 4.7.1), і далі, в підрозділі 4.8, даємо достатні умови необмеженості періодів послідовності періодичних точок, що збігаються до нерухомої точки (теорема 4.8.1).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

В даній дисертаційній роботі вивчалось відображення зсуву уздовж орбіт векторного поля та його застосування до опису гомотопічного типу деяких нескінченновимірних просторів. Зокрема, описано структуру множини функцій періоду для неперервних потоків на компактних многовидах;

для широкого класу векторних полів на компактних многовидах доведено стягуваність компонент звязності груп дифеоморфізмів, що залишають інваріантними орбіти таких полів;

для широкого класу гладких функцій на компактних многовидах зі значеннями в числовій прямій або колі встановлено гомотопічну еквівалентність правих та право-лівих стабілізаторів, а також відповідних правих та право-лівих орбіт;

для широкого класу гладких функцій з ізольованими критичними точками на компактних поверхнях описано гомотопічні типи правих стабілізаторів та орбіт;

отримано нове доведення класифікації компонент звязності простору відображень Морса з компактних поверхонь в пряму та коло;

отримано класифікацію компонент простору відображень Морса з орієнтовної поверхні в коло, обмеження яких на межу є або постійним, або накриваючим.

1. Maksymenko S. Smooth shifts along flows / S. Maksymenko // Тези доповідей 4-ї міжнародної конференції з геометрії і топології, (м. Черкаси). - 2001. - P. 59-60.

2. Максименко C. Сечения действий групп Ли и теорема М. Ньюмана / C. Максименко. - Фундаментальная математика сегодня. К десятилетию НМУ. - Москва: НМУ, МЦНМО, 2003. - С. 246-258.

3. Maksymenko Sergiy. Smooth shifts along trajectories of flows / S. Maksymenko // Topology Appl. - 2003. - Vol. 130, no. 2. - P. 183-204.

4. Maksymenko S. Homotopy types of orbits of Morse functions on surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Geometric topology: infinite-dimensional topology, absolute extensors, applications", (м. Львів). - 2004. - P. 37.

5. Максименко C. Стабілізатори та орбіти гладких функцій відносно правої та право-лівої дій / C. Максименко // Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2005", (м. Одеса). - 2005. - С. 72-73.

6. Maksymenko S. Path-components of Morse mappings spaces of surfaces / S. Maksymenko // Comment. Math. Helv. - 2005. - Vol. 80, no. 3. - P. 655-690.

7. Maksymenko S. Consecutive shifts along orbits of vector fields / S. Maksymenko. - Foliations 2005. - World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2006. - P. 327-340.

8. Maksymenko S. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces / S. Maksymenko // Ann. Global Anal. Geom. - 2006. - Vol. 29, no. 3. - P. 241-285.

9. Maksymenko S. Stabilizers and orbits of smooth functions / S. Maksymenko // Bull. Sci. Math. - 2006. - Vol. 130, no. 4. - P. 279-311.

10. Власенко І. Ю. Топологические методы в изучении групп преобразований многообразий / І. Ю. Власенко, С. І. Максименко, Е. А. Полулях. - Праці Інституту математики НАН України. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. - С. 363.

11. Максименко C. Гамільтонові векторні поля однорідних многочленів двох змінних / C. Максименко // Проблеми топології та суміжні питання, Праці Інституту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 3. - С. 269-308.

12. Maksymenko S. Diffeomorphisms preserving orbits of Hamiltonian vector fields on surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Боголюбівські читання" присвяченої 90-річчю з дня народження Ю. О. Митропольського, (м. Київ). - 2007. - С. 33.

13. Maksymenko S. Functions with isolates singularities of surfaces / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Analysis & Topology", (м. Львів). - 2008. - С. 39-40.

14. Maksymenko Sergiy. Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces / S. Maksymenko // Travaux Mathematiques. - 2008. - Vol. 18. - P. 39-44.

15. Maksymenko S. Jets of orbit preserving difeomorphisms for singularities of vector fields / S. Maksymenko.- Тези доповідей міжнародної конференції "Геометрія в Одесі - 2008", (м. Одеса) - 2008. - P. 187-188.

16. Maksymenko Sergiy. Connected components of partition preserving diffeomorphisms / S. Maksymenko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2009. - Vol. 15, no. 3. - P. 264-279.

17. Maksymenko S. Path components of certain diffeomorphism groups with respect to distinct Whitney topologies / S. Maksymenko // Тези доповідей міжнародної конференції "Infinite dimensional analysis and topology", (м. Львів). - 2009. - P. 91.

18. Maksymenko S. Path components of certain diffeomorphism groups with respect to distinct Whitney topologies / S. Maksymenko. - Book of abstracts of Conference on Algebraic Topology CAT"09, (Warszawa, Poland). - 2009. - P. 20-21.

19. Maksymenko S. Path components of certain groups of orbit preserving diffeomorphisms / S. Maksymenko // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия и топология в целом", посвященной 90-летию со дня рождения А. В. Погорелова, (г. Харьков). - 2009. - С. 61-62.

20. Maksymenko S. Reparametrization of vector fields and their shift maps / S. Maksymenko // Геометрія, топологія та їх застосування, Праці Інституту математики НАН України. - 2009. - Т. 6, № 2. - С. 489-498.

21. Maksymenko S. ?-jets of diffeomorphisms preserving orbits of vector fields / S. Maksymenko // Cent. Eur. J. Math. - 2009. - Vol. 7, no. 2. - P. 272-298.

22. Максименко C. Функції з однорідними особливостями на поверхнях / C. Максименко // Доповіді НАН України. - 2009. - Т. 8. - С. 20-23.

23. Maksymenko S. І. Symmetries of degenerate center singularities of plane vector fields / S. І. Maksymenko // Нелінійні коливання. - 2009. - Т. 12, № 4. - С. 507-526.

24. Maksymenko S. Deformations of circle-valued Morse functions on surfaces / S. Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 10. - С. 1360-1366.

25. Maksymenko S. Functions on surfaces and incompressible subsurfaces / S. Maksymenko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2010. - Vol. 16, no. 2. - P. 167-182.

26. Maksymenko S. Functions with isolated singularities on surfaces / S. Maksymenko // Геометрія та топологія функцій на многовидах. Праці Інституту математики НАН України. - 2010. - Т. 7, № 4. - С. 7-66.

27. Maksymenko S. Kernel of a map of a shift along the orbits of continuous flows / Sergiy Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 5. - С. 651-659.

28. Maksymenko S. Period functions for C0 and C1 flows / S. Maksymenko // Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 7. - С. 954-967.

29. Maksymenko S. І. Symmetries of center singularities of plane vector fields / S. І. Maksymenko // Нелінійні коливання. - 2010. - Т. 13, № 2. - С. 177-205.