Рассмотрение умозаключения как формы абстрактного мышления. Анализ роли дедукции в мышлении. Изучение индукции как процесса логического вывода. Исследование специфики полной и неполной индукции. Процесс построения выводов, заключений, выведения следствий.
Умозаключение ? форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений, на основании определенных правил вывода, получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них. Умозаключения могут быть: логически необходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом, в качестве посылок, могут быть и ложные суждения). Дедукция (лат. deductio - выведение) - метод мышления, следствием которого является логический вывод, в котором частное заключение выводится из общего; цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы , или просто гипотезы , имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом - следствия из посылок, теоремы («частное»). Соединение дедукции и индукции, в процессе обучения, дает два пути объяснения материала: «Индуктивно-дедуктивный путь объяснения материала, когда последнее начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции); путь дедуктивно-индуктивный, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем, в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями».
Введение
Умозаключения, как и понятия суждения, являются формой абстрактного мышления. С помощью многообразных видов умозаключений опосредованно мы можем получать новые знания. Умозаключать можно при наличии одного или нескольких суждений, поставленных во взаимную связь.
Умозаключение ? форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений, на основании определенных правил вывода, получается новое суждение, с необходимостью или определенной степенью вероятности следующее из них.
Умозаключения делятся на такие виды: дедуктивные; индуктивные; по аналогии. Умозаключения могут быть: логически необходимыми, т. е. давать истинное заключение, и вероятностными (правдоподобными), т. е. давать не истинное заключение, а лишь с определенной степенью вероятности следующее из данных посылок (при этом, в качестве посылок, могут быть и ложные суждения).
Процесс получения заключений из посылок, по правилам дедуктивных умозаключений, называется выведением следствий.
1. Дедукция
Дедукция (лат. deductio - выведение) - метод мышления, следствием которого является логический вывод, в котором частное заключение выводится из общего; цепь умозаключений (рассуждений), где звенья (высказывания) связаны между собой логическими выводами.
Началом (посылками) дедукции являются аксиомы , или просто гипотезы , имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом - следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и ее следствия.
Дедукция ? основное средство доказательства; противоположно индукции .
Пример простейшего дедуктивного умозаключения: 1. Все люди смертны;
2. Сократ - человек;
3. Следовательно, Сократ смертен.
Дедуктивное умозаключение, являющееся предметом традиционной логики, применяется нами всякий раз, когда требуется рассмотреть какое- либо явление, на основании уже известного нам общего положения, и вывести в отношении этого явления необходимое заключение. Нам известен, например, следующий конкретный факт: «Данная плоскость пересекает шар», и общее правило, относительно всех плоскостей, пересекающих шар: «Всякое сечение шара плоскостью есть круг». Применяя это общее правило к конкретному факту, каждый правильно мыслящий человек необходимо придет к одному и тому же выводу: «Значит, данная плоскость есть круг».
Дедукция играет большую роль в нашем мышлении. Во всех случаях, когда конкретный факт мы подводим под общее правило и затем из общего правила выводим какое-то заключение в отношении этого конкретного факта, мы умозаключаем в форме дедукции. И, если посылки истинны, то правильность вывода будет зависеть от того, насколько строго мы придерживались правил дедукции, в которых отобразились закономерности материального мира, объективные связи и отношения всеобщего и идентичного. Известную роль дедукция играет во всех случаях, когда требуется проверить правильность построения наших рассуждений. Так, чтобы удостовериться в том, что заключение действительно вытекает из посылок, которые иногда даже не все высказываются, а только подразумеваются, мы придаем дедуктивному рассуждению форму силлогизма: находим большую посылку, подводим под нее меньшую посылку и затем выводим заключение. При этом обращаем внимание на то, насколько в умозаключении соблюдены правила силлогизма. Применение дедукции, на основе формализации рассуждений, облегчает нахождение логических ошибок и способствует более точному выражению мысли.
2. Индукция
Индукция (лат. inductio - наведение) - процесс логического вывода, на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики , а, скорее, через некоторые фактические, психологические или математические представления.
Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.
Различают: полную индукцию - метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию - наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции .
В полной индукции мы заключаем от полного перечисления видов известного рода ко всему роду; очевидно, что при подобном способе умозаключения мы получаем вполне достоверное заключение, которое в то же время в известном отношении расширяет наше познание; этот способ умозаключения не может вызвать никаких сомнений. Отождествив предмет логической группы с предметами частных суждений, мы получим право перенести определение на всю группу.
Схема полной индукции: Множество А состоит из элементов: А1, А2, А3, …, An.
?А1 имеет признак В;
?А2 имеет признак В;
?Все элементы от А3 до An также имеют признак В.
Следовательно, все элементы множества А имеют признак В.
Неполная индукция не является доказательной, с точки зрения формальной логики ; она может привести к ошибочным заключениям. Вместе с тем, неполная индукция является основным способом получения новых знаний. Доказательная сила неполной индукции ограничена; заключение носит вероятностный характер, требует приведения дополнительного доказательства.
Схема неполной индукции: Множество А состоит из элементов: А1, А2, А3, …, An.
?А1 имеет признак В;
?А2 имеет признак В;
?Все элементы от А3 до Ак также имеют признак B.
Следовательно, вероятно, Ак 1 и остальные элементы множества А имеют признак В.
Пример ошибочного результата:
?В Аргентине, Венесуэле и Эквадоре говорят на испанском языке;
?Аргентина, Венесуэла и Эквадор - Латиноамериканские страны.
Следовательно, в каждой Латиноамериканской стране говорят на испанском языке. логический дедукция индукция умозаключение
Как в любом процессе мышления (научного или обыденного), так и в процессе обучения, дедукция и индукция взаимосвязаны. Ф. Энгельс писал: «Индукция и дедукция связаны между собой столь же необходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того, чтобы односторонне превозносить одну из них до небес, за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга». В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукции ход рассуждения противоположный, т. е. от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности.
В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тогда, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, и, когда, в результате беседы, они смогут сделать сами определенное заключение, обобщение, сформулировать правило, теорему или некоторую закономерность. Индуктивный метод, в большей мере, активизирует учащихся; однако, требует от учителя творческого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивается больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.
Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам формулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д.. Соединение дедукции и индукции, в процессе обучения, дает два пути объяснения материала: «Индуктивно-дедуктивный путь объяснения материала, когда последнее начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индукции); путь дедуктивно-индуктивный, когда сообщение учащимся нового осуществляется самим учителем, в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями».
К.Д. Ушинский высоко ценил применение индукции при изучении грамматики. На специально подобранных примерах он развивал у детей умение подмечать закономерности языка и делать самостоятельные обобщения, формулировать правила, что имело огромное значение для развития мышления младших школьников. Дедукцию Ушинский ценил не меньше индукции и большую роль в обучении языку отводил последующим упражнениям, направленным на подыскание самими учащимися примеров на только что сформулированное правило. Известный советский методист А.В. Текучев, обобщив данные экспериментальной проверки применения этих двух способов изучения материала, сделал вывод о том, что в работе над темой «Однородные члены предложения» (общее понятие, союзы при однородных членах, обобщающие слова) с одинаковым успехом могут быть использованы оба пути; изучение же правил постановки знаков препинания при однородных членах предпочтительнее проводить дедуктивно-индуктивным способом. Эти же приемы используются не только на уроках родного языка, но и на уроках математики, истории, физики и др.. Соответствующая методика преподавания школьного предмета рекомендует учителям более конкретное использование этих методов в работе над отдельными темами учебной программы.
В математике имеется много приверженцев, как индуктивного, так и дедуктивного метода. Например, Л.Д. Кудрявцев полагает, что «на первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход», ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобщение понятий, способствуют более активному усвоению материала. Далее он отмечает: «В последние годы наблюдается стремление заменять, по возможности, индуктивный подход дедуктивным. Целесообразность этого часто представляется сомнительной».
Однако, как при индуктивном, так и при дедуктивном методе, при изложении новых понятий или новых общих теорий, необходимо отводить значительное время на конкретные иллюстрации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. От самого учителя зависит оптимальный выбор методов, позволяющий на высоком уровне самостоятельности организовать познавательную деятельность учащихся.
В математике используются различные виды индукции: полная; неполная; математическая.
Применение математической индукции покажем на следующем примере.
Надо определить сумму n первых нечетных чисел: 1 3 5 7 ... (2n-1)12.
Обозначив эту сумму через S (n), положим n = 1, 2, 3, 4, 5. Тогда будем иметь: S(1)=1;
S (2)= 1 3=4;
S (3)=1 3 5 = 9;
S (4)=1 3 5 7 = 16;
S (5)=1 3 5 7 9=25.
Мы наблюдаем интересную закономерность: при n = 1, 2, 3, 4, 5, сумма л последовательных нечетных чисел равна n2. Но заключение по аналогии, что это имеет место при любом л, сделать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, т. е. предположим, что для какого-то числа л наша формула верна, и попытаемся доказать, что, тогда она верна и для следующего числа (n 1). Итак, мы полагаем, что: S(n)-1 3 5 ... (2n-1)=n2. Вычислим S(n 1)=1 3 4 5 ... (2n- 1) (2n 1). Но, по предположению, сумма n первых слагаемых равна л2; следовательно, S(n 1) = n2 (2n 1) = (n 1)2. Итак, предположив, что S(n) - n2, мы доказали, что S (n 1) = (n 1)2. Но мы выше проверили, что эта формула верна для n = 1, 2, 3, 4, 5; следовательно, она будет верна, и для n=6, и для n=7, и т. д.. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых.
Этим же методом доказывается, что сумма n первых натуральных чисел, обозначенная S1(n), равна т. е.:
Заключение
Итак, единство дедукции и индукции, как в обучении, так и в научном творчестве, своеобразно и ярко проявляется в математике ? науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук, как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.
Логической формой получения выводных знаний является умозаключение. Умозаключение - это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение.
Любое умозаключение состоит из посылок, заключения и вывода.
Посылками умозаключения называют исходные суждения, из которых выводится новое суждение.
Заключением называется новое суждение, полученное логическим путем из посылок.
Логический переход от посылок к заключению называется выводом.
Важное значение имеет классификация умозаключений по направленности логического следования, т. е. по характеру связи, между знанием, различной, степени общности, выраженному в посылках и заключении. С этой точки зрения, различают три вида умозаключений: дедуктивные (от общего знания к частному); индуктивные (от частного знания к общему); умозаключения по аналогии (от частного знания к частному).
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
