Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд. Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю: С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице: Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды , сходятся, то и ряд сходится и его сумма равна т. е.Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительными рядами. Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки. Такие ряды удобнее записывать в виде Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак. Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд Например, как было показано выше ряд сходится, в то время как ряд расходится. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.
План
Содержание
Лекция. Числовые ряды
1. Определение числового ряда. Сходимость
2. Основные свойства числовых рядов
3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
1. Высшая математика: Общий курс: Учеб. - 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. - Мн.: Выш. шк., 2000.- 351 с.
2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. - Мн.: Амалфея, 2003. - 352 с.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
