Численные методы решения типовых математических задач - Курсовая работа

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания и его исследования. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных методов решения задач. Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники.Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal7.0. для решения систем линейных алгебраических уравнений, используя метод Гаусса-Зейделя.Пусть дана система линейных уравнений Вектор-столбец неизвестных - является решением системы (1.1), если при подстановке этих чисел в уравнения системы все они обращаются в верное равенство.Прямые методы дают решение задачи за конечное (точно определяемое для каждого метода) число операций. К прямым относятся следующие методы: метод Гаусса, метод Крамера, метод LU-разложения, метод Холецкого (квадратного корня), метод прогонки.Для решения системы линейных алгебраических уравнений мы будем использовать метод Гаусса-Зейделя. Достаточное условие сходимости метода Гаусса-Зейделя определятся той же теоремой, что и достаточное условие сходимости метода простой итерации: если какая-либо норма матрицы , согласованная с рассматриваемой нормой вектора , меньше единицы (), то последовательность в методе простой итерации сходится к точному решению системы со скоростью, не меньшей скорости геометрической прогрессии со знаменателем при любом начальном приближении . Существует устойчивое заблуждение, что метод Гаусса-Зейделя сходится быстрее метода Якоби (метода простых итераций).На рисунке 1.2 представлена схема алгоритма ввода исходных данных (подпрограмма-процедура Input). На рисунке 1.3 представлено продолжение схемы алгоритма ввода исходных данных (подпрограмма-процедура Input). На рисунке 1.4 представлена схема алгоритма проверки сходимости метода (подпрограмма-процедура proverka_shodimosti). На рисунке 1.5 представлено продолжение схемы алгоритма проверки сходимости метода (подпрограмма-процедура proverka_shodimosti). На рисунке 1.6 представлена схема алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Зейделя (подпрограмма-процедура reshenie_sistembl).Далее приведен текст программы решения СЛАУ методом Гаусса-Зейделя. program metod_Gaussa_Zeidelya; for i:=1 to kolvo do for j:=1 to kolvo do begin repeat begin writeln("введите элемент [",i,",",j,"] и нажмите Enter"); {Проверяется возможность решения} var i,j:integer; summa1,summa2:array [1..c] of real; norma1,norma2,norma3,summa3:real; {Проверяется возможность решения} var i,j:integer; summa1,summa2:array [1..c] of real; norma1,norma2,norma3,summa3:real; begin for i:=1 to kolvo do begin summa1[i]:=0;Задание: Найти решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя: Матрица системыВам будет предложено ввести количество уравнений, погрешность вычисления, построчно матрицу системы (коэффициенты перед неизвестными) и вектор свободных членов. Если система не имеет решений, выводится следующее сообщение: «Процесс итерации расходится, найти решение невозможно.Константы: С - константа целого типа, обозначает верхнюю границу матрицы системы и свободных членов. Переменные: N:integer-количество уравнений(размерность матрицы системы); Ekran:text-файл, в который копируется данный файл для вывода на экран. norma1,norma2,norma3:real-нормы матрицы коэффициентов a_s:string, b_s: string - строковые переменные, используемые для контроля ввода элементов матрицы системы и вектора свободных членов; Формальные параметры:-передаваемые значения: Kolvo:integer-количество уравнений в системе (размерность матрицы системы);Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для интерполирования функции, заданной в узлах, методом Вандермонда (решение системы уравнений, составленных по условиям интерполяции).В узком значении под интерполяцией понимают отыскание величин таблично заданной функции, соответствующих промежуточным (межузловым) значениям аргумента, отсутствующим в таблице. Под интерполяцией в широком смысле понимают отыскание аналитического вида функции y = F(x), выбранной из определенного класса функций и точно проходящую через узлы интерполяции . При этом задача формулируется таким образом : на отрезке [a ,b] заданы (n 1) точки x0 , x1 , x2 ,…, xn и значения некоторой функции f(x) в этих точках : f(x0)= y0 , f(x1)= y1 , … , f(xn)= yn .На практике для построения интерполирующего многочлена могут использоваться следующие методы: решение СЛАУ, составленной по условиям интерполяции (метод Вандермонда), метод Лагранжа, метод Ньютона, построение сплайна. Интерполяционная формула Лагранжа: Эта формула легко программируется. Интерполяционной формулой Лагранжа невозможно пользоваться при большом числе узлов интерполяции (). Интерполяционную формулу Ньютона удобнее применять в том случае, когда интерполируется одна и та

Содержание

Введение

1 Задача №1 Решение СЛАУ методом Гаусса-Зейделя

1.1 Постановка задачи

1.2 Математическая формулировка задачи

1.3 Обзор существующих численных методов

1.4 Численный метод решения

1.5 Схема алгоритма

1.6 Текст программы

1.7 Тестовый пример

1.8 Инструкция пользователю

1.9 Инструкция программисту

2 Задача №2 Интерполирование функции, заданной в узлах, методом Вандермонда

2.1 Постановка задачи

2.2 Математическая формулировка задачи

2.3 Обзор существующих численных методов

2.4 Численный метод решения

2.5 Схема алгоритма

2.6 Текст программы

2.7 Тестовый пример

2.8 Инструкция пользователю

2.9 Инструкция программисту

3 Задача №3 Среднеквадратичное приближение функции

3.1 Постановка задачи

3.2 Математическая формулировка задачи

3.3 Обзор существующих численных методов

3.4 Численный метод решения

3.5 Схема алгоритма

3.6 Текст программы

3.7 Тестовый пример

3.8 Инструкция пользователю

3.9 Инструкция программисту

4 Задача №4 Вычисление интеграла функций по составной формуле трапеций

4.1 Постановка задачи

4.2 Математическая формулировка задачи

4.3 Обзор существующих численных методов

4.4 Численный метод решения

4.5 Схема алгоритма

4.6 Текст программы

4.7 Тестовый пример

Заключение

Список использованных источников

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания и его исследования. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных методов решения задач. Названия этих методов - методы Ньютона, Эйлера, Гаусса, Чебышева и т.п. - свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, связанных с численным решением задач. В действительности дело обстоит иначе. Расширение возможности приложения математики обусловило математизацию многих научных дисциплин. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и разработке методов их исследования. Современные успехи в решении таких проблем, как атомные и космические, вряд ли были бы возможны без использования численных методов. Прежде, чем поручать ЭВМ большую задачу, надо сделать много оценочных расчетов, понять, какие методы окажутся эффективными для данной задачи.

В данной работе рассматриваются следующие численные методы: решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Зейделя, интерполирование функции, заданной в узлах, методом Вандермонда (решение системы уравнений, составленных по условиям интерполяции), среднеквадратичное приближение функции, заданной в узлах, вычисление интеграла функции с использованием составной формулы трапеций.

1 Задача №1: решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-Зейделя