Численные методы решения типовых математических задач - Курсовая работа

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание,-вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле - как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации.Пусть А - невырожденная матрица и нужно решить систему где диагональные элементы матрицы А ненулевые.В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. Запишем расширенную матрицу системы: На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный элемент (если он равен 0, то первую строку переставляем с какой-либо нижележащей строкой) и объявляем его a11?0 ведущим, а соответствующую строку и столбец, на пересечении которых он стоит - ведущими. Компьютерная реализация метода Гаусса часто осуществляется с использованием LU-разложения матриц. A=LU где L - нижняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся выше главной диагонали равны нулю, lij=0 при i>j), U-верхняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю, uij=0 при i>j). Тогда метод Зейделя для известного вектора на k-ой итерации имеет вид: Из этой системы видно, что , где В - нижняя треугольная матрица с диагональными элементами , равными нулю, а С - верхняя треугольная матрица с диагональными элементами, отличными от нуля, ?=B C.Разрешим систему относительно неизвестных при ненулевых диагональных элементах , aii?0, i= 1,n (если какой-либо коэффициент на главной диагонали равен нулю, достаточно соответствующее уравнение поменять местами с любым другим уравнением). Получим следующие выражения для компонентов вектора ? и матрицы ? эквивалентной системы: При таком способе приведения исходной СЛАУ к эквивалентному виду метод простых итераций носит название метода Якоби. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц. Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций. Метод простых итераций (1.19) сходится к единственному решению СЛАУ при любом начальном приближении x(0), если какая-либо норма матрицы ? эквивалентной системы меньше единицыvector=array[1..maxn] of real; vector1=array[1..maxn] of real; procedure input(var kolvo:integer; var pogreshnostb:real; var matr1:matrix; var matr2:vector); begin writeln("введите количество уравнений"); for i:=1 to kolvo do for j:=1 to kolvo do begin repeat begin writeln("введите элемент [",i,",",j,"] и нажмите Enter");Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для интерполирования функции, заданной в узлах, используя метод Ньютона с разделенными разностями.... y n или Точки с координатами (xi, yi) называются узловыми точками или узлами.Интерполяционный многочлен может быть построен при помощи специальных интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, Стерлинга, Бесселя и др. Интерполяционный многочлен по формуле Лагранжа имеет вид: Докажем, что многочлен Лагранжа является интерполяционным многочленом, проходящим через все узловые точки, т.е. в узлах интерполирования xi выполняется условие Ln(xi) = yi. Для этого будем последовательно подставлять значения координат узловых точек таблицы в многочлен (2.1). Чем больше узлов интерполирования на отрезке [x0,xn] , тем точнее интерполяционный многочлен приближает заданную табличную функцию, т.е. тем точнее равенство: Однако с увеличением числа узлов интерполирования возрастает степень интерполяционного многочлена n и в результате значительно возрастает объем вычислительной работы. При решении задачи экстраполирования функции с помощью интерполяционного многочлена вычисление значения функции за пределами отрезка [x0,xn] обычно производят не далее, чем на один шаг h, равный наименьшей величине так как за пре

Содержание

Введение

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации

1.1 Постановка задачи

1.2 Математическая формулировка задачи

1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

1.4 Численный метод решения задачи

1.5 Схема алгоритма

1.6 Текст программы

1.7 Тестовый пример

2. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями

2.1 Постановка задачи

2.2 Математическая формулировка задачи

2.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

2.4 Численный метод решения задачи

2.5 Схема алгоритма

2.6 Текст программы

2.7 Тестовый пример

3. Среднеквадратическое приближение функции

3.1 Постановка задачи

3.2 Математическая формулировка задачи

3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

3.4 Численный метод решения задачи

3.5 Схема алгоритма

3.6 Текст программы

3.7 Тестовый пример

4. Численное интегрирование функций методом Гаусса

4.1 Постановка задачи

4.2 Математическая формулировка задачи

4.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

4.4 Численный метод решения задачи

4.5 Схема алгоритма

4.6 Текст программы

4.7 Тестовый пример

Заключение

Список использованных источников

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание,- вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Поясним существо этого способа исследования на примере решения какой-либо физической проблемы. Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т. е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента.

Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики - вычислительной математики.

Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле - как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических и логических действий, выполняемых па ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность? Можно выделить три основные причины возникновения погрешности при численном решении исходной математической задачи. Прежде всего, входные данные исходной задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. Наконец, конечная разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к ошибкам округления, которые могут нарастать в процессе вычислений

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.