Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем - Курсовая работа

В программе подготовки инженеров, как правило, включен ряд дисциплин, изучающих сложные физические и химические процессы. Математические модели реальных процессов могут быть достаточно сложными, и соответствующие задачи не решаться аналитически.Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Эйлера, используя табличный процессор Excel. Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15.Рассмотрим расчетную таблицу в Excel, содержащую три столбца для значений . Вычисление первого столбца: первые два значения x = x0 и x1 = x0 h вводятся в ячейки A3 и A4, затем, выделив две эти ячейки, заполняем столбец значений x до достижения конечного значения x=1,5. Затем заполним первую строку расчетной таблицы: в столбце y введем y0 в ячейку B3, в столбце введем в ячейку C3 формулу: =$E$2*(A3^2-B3^2) (вычисляется приращение функции y для текущего значения x в соответствии с формулой ). Вычисление второго столбца: вводим формулу =В3 С3 в ячейку B4 и копируем ее в ячейки B5:B18 (вычисляется новое значение функции y при изменении x на один шаг с помощью линейного приращения по формуле ). Вычисление третьего столбца: копируем формулу из ячейки C3 в ячейки C4:C18Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, используя табличный процессор Excel и с помощью программы на языке Турбо Паскаль 7.0. Построить графики решений в Excel, с помощью Мастера диаграмм. Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15. Расчетные формулы для конкретного примера записываются, исходя из общих формул: где i = 0,1,…, n-1. Ячейка H21 отводится под значения константы h, ячейка G21 - под ее имя.Блок-схема алгоритма Рунге-Кутта для дифференциального уравнения 1-го порядкаТекст программы: program rungekutt1_v3; function f(x,y:real):real; begin f:=exp(x c*y) 1 end; begin assign(inp,"inp1.txt");Исходные значения должны находиться в файле inp1.txt в следующем порядке: левая граница промежутка, правая граница промежутка, число отрезков разбиения, начальное значение функции, параметр.Результаты расчетов пишутся в файл ou1.txt. x y

0.0 0.000000

0.1 0.207392

0.2 0.431310

0.3 0.674812

0.4 0.941709

0.5 1.236818

0.6 1.566340

0.7 1.938427

0.8 2.364085

0.9 2.858650

1.0 3.444396

1.1 4.155418

1.2 5.047809

1.3 6.223828

1.4 7.902422

1.5 10.714022Построим графики численного решения данного уравнения в Excel методами Эйлера и Рунге-Кутта.Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0 совпадают с расчетами (методами Эйлера и Рунге-Кутта) в Excel, что является косвенным признаком правильности решения задачи.1) Решить численно указанную задачу Коши для уравнения второго порядка методом Рунге-Кутта, с помощью программы на языке Turbo Pascal 7.0.Рассмотрим уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной: (1.12) на отрезке [a, b] с начальными условиями . Это уравнение легко свести к системе уравнений первого порядка с помощью замены переменных: .Число отрезков разбиения n: 10. 3.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования3.3 Функция f1(z:real):real. Функция f2(x,y,z:real):real. function f1(z:real):real; begin f1:=z end; function f2(x,y,z:real):real;Исходные значения должны находиться в файле inp2.txt в следующем порядке: левая граница промежутка, правая граница промежутка, число отрезков разбиения, начальное значение функции , начальное значение функции .Результаты расчетов пишутся в файл ou2.txt. x y z

0.5 1.000000 1.000000

0.6 1.100693 1.012891

0.7 1.202401 1.020476

0.8 1.304646 1.023823

0.9 1.407064 1.024112

1.0 1.509408 1.022562

1.1 1.611554 1.020359

1.2 1.713494 1.018593

1.3 1.815320 1.018223

1.4 1.917212 1.020041

1.5 2.019422 1.024669Построим графики численного решения данного уравнения в Excel методом Рунге-Кутта.Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0, совпадают с контрольным вариантом расчета по методу Рунге-Кутта, произведенном в Excel, что является косвенным признаком правильности решения.1) Решить численно задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, являющейся моделью “хищник - жертва” при различных начальных условиях и различных значениях параметров системы. Величину интервала решения и шаг подобрать самостоятельно, так чтобы решение не выходило за пределы сотен единиц и давало картину поведения траекторий.Система уравнений, описывающая динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу «хищник-жертва» и с учетом внутривидового взаимодействия:

Заданные начальные условия при t=0Начальное и конечное значение аргумента t: t0, tn. Таким образом, получаем систему: 4.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования.Функция f1(x,y:real):real Функция f2(x,y:real):real function f1(x,y:real):real; begin f1:=a*x b*x*y end; function f2(x

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

1.1 Постановка задачи

1.2 Математическая модель задачи (метод Эйлера)

1.3 Исходные данные

1.4 Численное решение уравнения методом Эйлера в Excel

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА В EXCEL И TURBO PASCAL 7.0

2.1 Постановка задачи

2.2 Математическая модель задачи (метод Рунге-Кутта)

2.3 Исходные данные

2.4 Численное решение уравнения методом Рунге-Кутта в Excel

2.5 Блок-схема алгоритма

2.6 Программа на языке Turbo Pascal

2.7 Выполнение расчетов

2.8 Результаты расчетов

2.9 Представление результатов в виде графиков

2.10 Анализ результатов

3. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1 Постановка задачи

3.2 Математическая модель задачи

3.3 Исходные данные

3.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования

3.5 Блок-схема алгоритма

3.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0.

3.7 Выполнение расчетов

3.8 Результаты расчетов

3.9 Представление результатов в виде графиков

3.10 Анализ результатов

4. МОДЕЛЬ ТИПА «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» С УЧЕТОМ ВНУТРИВИДОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

4.1 Постановка задачи

4.2 Математическая модель задачи

4.3 Исходные данные

4.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования

4.5 Блок-схема алгоритма

4.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0.

4.7 Выполнение расчетов

4.8 Результаты расчетов

4.9 Представление результатов в виде графиков

4.10 Анализ результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ