Численное решение уравнения Шредингера средствами Java - Дипломная работа

Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов. В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера.Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. , Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования Умножим слева (1.1) на функцию *, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находимВ большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора .Рассмотрим случай L .Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим и =g(y).Так как возрастает каждый раз на единицу ,то где . Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции это позволяет сделать интересный вывод об интеграле как функции . Он равен нулю всюду, кроме точки , а интеграл от него по любому промежутку ,включающему , равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке . Функция и ,определенные теперь только для положительных и , называются косинус - преобразованиями Фурье по отношению друг к другу. Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус - преобразованиями Фурье: (4.10)Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x). Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin, xmax потенциал становится бесконечно большим. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие , решение в области всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение , интегрируя уравнение (3.1) от в сторону уменьшения .Даже, когда вы загружаете программу, ее код - это все еще только пассивные данные до тех пор, пока вы их не начнете выполнять. Например, сервер мог бы предоставить (клиенту) программу, чтобы должным образом отображать данные, посылаемые клиенту. Приложение - это программа, которая выполняется на вашем компьютере с помощью его операционной системы. В хорошо написанной Java-программе все ошибки времени выполнения могут - и должны - управляться вашей программой. Программы Java несут в себе существенное количество информации времени выполнения, которая используется, чтобы проверять и разрешать доступ к объектам в период работы программы.При реализации метода аппроксимации оператора эволюции средствами языка программирования Java 2, использовались основные элементы объектно-ориентированного программирования, позволяющие разбить программу на более мелкие структурные части, для дальнейшего совершенствования и настраивания ее под различные физические задачи. В данной работе использовался модуль JSCI.math предназначенный для проведения вычислений в специализированных физических и математических задачах. Также выполненный апплет может быть размещен на Internet-сервере и являться частью jsp-странички, что позволит использовать результаты его вычислений различным пользователям сети Internet, используя Internet-браузер для просмотра данной странички.

Содержание

Введение

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

1.2 Волновые функции в импульсном представлении

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

2.2 Преобразование Фурье

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе

Заключение

Список использованных источников

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.