Численное решение обратных задач по восстановлению граничных условий уравнения параболического типа - Диссертация

Отметим некоторые из них: 1) математические дисциплины: вычислительная математика, алгебра, интегральная геометрия, интегральные и операторные уравнения, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, теория оптимального управления и др., 2) геофизика, 3) квантовая механика, 4) акустика, 5) электродинамика, 6) химия, 7) тепло-и массоперенос, 8) нефтяное и газовое дело, 9) гидрология и гидрогеология, 10) медицина, 11) экономика, 12) экология и др. В связи с созданием эффективных методов решения, развитием численных методов становится возможным решение достаточно сложных обратных задач, исследование свойств решения, что в свою очередь требует более глубокого анализа теоретических проблем, включая вопросы существования и единственности решений, регуляризации задачи, сходимости регуляризованных решений и др. В работе поставлена цель - решение обратных граничных задач уравнений параболического типа. Во второй главе представлены методы решение граничных обратных задач уравнений параболического типа. Далее, в третей главе, с использованием данных методов численно решены обратные граничные задачи упругом режиме фильтрации.Такие задачи мы относим к классу обратных задач математической физики. С общей методологической точки зрения прямыми задачами мы можем назвать задачи, для которых заданы причины, а искомыми величинами являются следствия. При таких предпосылках обратными будут задачи, в которых известны следствия, а неизвестными выступают причины. Под обратными задачами математической физики мы будем понимать задачи, которые мы не можем отнести к прямым. Для прямых задач математической физики решение определяется уравнением (коэффициентами и правой частью), граничными и, в нестационарных задачах, начальными условиями.Приведем основные понятия теории так называемых некорректных (или некорректно поставленных) задач и численные методы их решения при наличии различной априорной информации. Для простоты рассмотрим сначала только линейные уравнения в нормированных пространствах, хотя, разумеется, все аналогичные определения могут быть введены и для нелинейных задач в более общих метрических (и даже топологических) пространствах. В качестве основного объекта рассматривается операторное уравнение: где - линейный оператор, действующий из гильбертова пространства в гильбертово пространство . Такое уравнение является типичной математической моделью для многих физических, так называемых обратных, задач, если предполагать, что искомые физические характеристики не могут быть непосредственно измерены, а в результате эксперимента могут быть получены только данные , связанные с с помощью оператора . Задача решения операторного уравнения называется корректно поставленной (по Адамару), если выполнены следующие три условия: решение существует ;В этом параграфе будут рассмотрены обратные задачи для уравнения теплопроводности, представляющие собой задачи определения либо начального условия, либо граничного условия, либо функции, характеризующей действие источников тепла по дополнительной информации о решении краевой задачи для уравнения теплопроводности [5]. Как известно, при определенных предположениях относительно функции решение задачи (13)-(15) может быть получено с помощью метода разделения переменных и имеет следующий вид [3]: Положив учитывая (16), имеем Так как это уравнение является линейным, то для доказательства единственности его решения достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при . Пусть уравнение (17) с правой частью имеет решение . Таким образом, для существования решения уравнения (17) в пространстве необходимо, чтобы функция была такова, что ряд, стоящий в правой части равенства (19), сходился.Среды обратных задач математической физики особенно важное прикладное значение имеет граничная обратная задача [4]. Такая задача принадлежит к классу условно корректных и для ее приближенного решения разрабатываются специальные методы регуляризации. При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагаются известными постановки прямых задач [2]. Все обратные задачи, вне зависимости от рассматриваемого физического процесса или технической системы, можно разделить на три класса [20]: 1) обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации физических процессов; 3) обратные задачи, возникающие при управлении процессами и объектами.Требуется определить температурное поле в теле и условия на границе из условий При использовании прямых методов решения данной задачи результаты чувствительны к погрешностям в задании теплофизических характеристики (ТФХ), причем гладкость результатов зависит от гладкости функций и . Поэтому при решении нелинейной обратные задачи теплопроводности (ОЗТ) желательно представлять теплофизические свойства материала в виде некоторых аппроксимирующих зависимостей , , удовлетворяющих условию непрерывной дифференцируемости.

Оглавление

Введение

Глава 1. Основные понятия об обратных и некорректно поставленных задачах

1.1 Классификация обратных задач математической физики

1.2 Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах

1.3 Обратные задачи для уравнения теплопроводности

Глава 2. Методы решения граничных обратных задач

2.1 Методы решения граничных обратных задач для уравнения параболического типа

2.2 Решение граничных обратных задач для уравнения параболического типа прямыми численными методами

2.3 Метод квазиобращения

Глава 3. Численные методы решения граничных обратных задач для уравнения параболического типа

3.1 Обратная граничная задача для линейно упругого режима фильтрации

3.2 Обратная граничная задача для нелинейно упругого режима фильтрации

3.3 Обратная граничная задача для линейно упругопластического режима фильтрации

Основные результаты и выводы

Литература

Интерес к обратным задачам в последнее время значительно вырос. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, такие задачи имеют большое практическое значение.

Области использования обратных и некорректных задач настолько широки и разнообразны, что одно только перечисление названий отраслей займет много мест.

Отметим некоторые из них: 1) математические дисциплины: вычислительная математика, алгебра, интегральная геометрия, интегральные и операторные уравнения, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, теория оптимального управления и др., 2) геофизика, 3) квантовая механика, 4) акустика, 5) электродинамика, 6) химия, 7) тепло- и массоперенос, 8) нефтяное и газовое дело, 9) гидрология и гидрогеология, 10) медицина, 11) экономика, 12) экология и др.

Во-вторых обратные задачи являются как правило некорректными, что создает ряд проблем в процессе их решения.

В связи с созданием эффективных методов решения, развитием численных методов становится возможным решение достаточно сложных обратных задач, исследование свойств решения, что в свою очередь требует более глубокого анализа теоретических проблем, включая вопросы существования и единственности решений, регуляризации задачи, сходимости регуляризованных решений и др. Такое обилие задач, достигнутые результаты за последнее время, практическая важность решения обратных и некорректных задач показывает актуальность проблемы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех параграфов, основных результатов и выводов, списка использованной литературы. Общий объем работы включает 92 страницы текста, 44 рисунков, 36 наименований использованной литературы.

Цель и задачи работы. В работе поставлена цель - решение обратных граничных задач уравнений параболического типа. Исходя из этой цели, в первой главе рассмотрены общие сведение обратных задач математической физики. Во второй главе представлены методы решение граничных обратных задач уравнений параболического типа. Далее, в третей главе, с использованием данных методов численно решены обратные граничные задачи упругом режиме фильтрации. При этом, рассмотрены как линейные, так и нелинейные уравнения фильтрации.

Научная новизна. В диссертации решены граничные обратные задачи фильтрации жидкости при линейном и нелинейном упругом режимах. Исследованы устойчивости решения к погрешностям исходных данных.

Достоверность полученных результатов. Задачи фильтрации решены численно с применением метода конечных разностей. При проведении численных расчетов на ЭВМ проверена устойчивость метода решения. Специальные численные эксперименты показывают также их устойчивость по отношению к возмущениям исходных данных.

Практическая ценность работы. Работа посвящена теоретическому анализу граничных обратных задач для параболического уравнения. Однако полученные результаты могут быть использованы при анализе процессов тепло и массообмена, процессов диффузии, фильтрационных процессах нефти и газа и др.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносится следующее: решения граничных обратных задач уравнения параболического типа;

решения граничных обратных задач фильтрации жидкости при линейном упругом режиме;

решения граничных обратных задач фильтрации жидкости при нелинейном упругом режиме.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов работы. Кратко дано основное содержание диссертации.

В первой главе приведены сведения об обратных и некорректно поставленных задач математической физики. Даны сведения классификация обратных задач математической физики.

В второй главе рассмотрены методы решения граничных обратных задач для уравнения параболического типа.

Во третей главе решены граничные обратные задачи фильтрации жидкости при линейном и нелинейном упругом режимах, а также для линейно упругопластического режима фильтрации. Восстановлены граничные условия из решения обратных задач фильтации. Для получения устойчивых решения использован метод шаговой регуляризации и сглаживание исходных данных. обратный параболический задача фильтрация