Задачи и методы линейной алгебры. Свойства определителей и порядок их вычисления. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Разработка вычислительного алгоритма в программе Pascal ABC для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.
Численные методы линейной алгебры - раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число. В определителе порядка n алгебраическим дополнением элемента, стоящего на пересечении k-го столбца и l-й строки, называется определитель порядка (n - 1), получаемый из данного вычеркиванием в нем строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, причем к этому определителю присоединяется множитель (-1)k l, где (k l) - сумма номеров вычеркнутой строки и столбца.Если матрица (А | E) приведена с помощью элементарных преобразований строк к виду (Е | A-1), где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Из теоремы следует метод нахождения обратной матрицы методом Гаусса: 1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;Решение: С помощью формулы (правило треугольника): Получаем: = 1*2*2 0*5*1 3*1*4 - 4*2*5 - 0*3*2 - 1*1*1 =-25Элементы первой строки умножим на (-3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу . В процессе создания курсовой работы было сделано следующее: 1) Изучили методы нахождения определителя и обратной матрицы применяемых при численном решении некоторых задач линейной алгебры.
План
Содержание
Введение
1. Теоретическая часть
1.1 Вычисление точного значения определителей
1.2 Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
2. Практическая часть
2.1 Вычисление определителей
2.2 Пример нахождения обратной матрицы
Заключение
Список литературы
Приложения
Введение
Линейная алгебра - часть алгебры, изучающая векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные, и квадратичные функции на векторных пространствах.
Численные методы линейной алгебры - раздел вычислительной математики, посвященный математическому описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры.
Наиболее важными являются задачи линейной алгебры - вычисление определителя, обратной матрицы, собственных значений и др.
Целями работы являются: · изучить методы нахождения определителя и обратной матрицы методом Гаусса;
· разработать вычислительный алгоритм в программе Pascal ABC для вычисления определителей и для нахождения обратной матрицы.
Список литературы
1. Пантина И.В., Синчуков. А.В. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синерия», 2012. - 176 с. (Университетская серия).
2. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1987. - 320 с.
3. Электронный ресурс. Определители и системы линейных алгебраических уравнений. [http://www.pm298.ru/reshenie/opredel.php] 10.12.2012
