Асимптотичні методи розв"язань спектральних та крайових задач в областях із сингулярно збуреними границями - Автореферат

Київський національний національний університет імені Тараса Шевченка 01.01.02 - Диференціальні рівняння АВТОРЕФЕРАТ на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук Тема: Асимптотичні методи розвязань спектральних та крайових задач в областях із сингулярно збуреними границями Мельник Тарас Анатолійович Київ-2001 Дисертацією є рукопис Робота виконана на кафедрі математичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, Член-кореспондент НАН України Хруслов Євген Якович Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Веркіна НАН України, м. Харків, заступник директора доктор фізико-математичних наук Шамаєв Олексій Станіславович Інститтут проблем механіки Російської АН, м. Москва, провідний науковий співробітник доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Ковалевський Олександр Альбертович Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, провідний науковий співробітник Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ нелінійного аналізу, м. Київ З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 64) Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Вагомий внесок в розвиток цієї теорії зробили як українські, так і зарубіжні математики: В.О. Марченко, Є.Я. Хруслов, І.В. Скрипник, О.А. Панков; Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, О.А. Олійник, В.В. Жиков, О.С. Шамаєв; Е. Вперше задача про усереднення крайових задач в областях складної структури була досліджена в роботах В.О. Марченка і Є.Я. Хруслова. В подальших роботах Є.Я. Хруслова (1977-78, 81, 88-99) розроблялись варіаційні методи дослідження розвязків крайових задач Діріхле та Неймана для лінійних диференціальних рівнянь в перфорованих областях We не обовязково періодичної структури. Для крайових задач Неймана Є.Я. Хрусловим було введене поняття сильно звязних областей We , залежних від малого параметра e, під яким розуміється існування рівномірно обмеженого відносно e оператора продовження з H1(We) в H1(Rn). З теорією усереднення диференціальних рівнянь з частинними похідними тісно повязана теорія G-збіжності операторів, початок якої був закладений в роботах S. Spacnolo, Е. Паралельно з теорією усереднення розвивались асимптотичні методи для дослідження крайових задач в тонких областях (А.Л. Гольденвейзер, В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева, С.О. Назаров, D. Caillerie) і в зєднаннях тонких областей різних граничних розмірностей (P.G.Ciarlet, С.О. Назаров, Б.А. Пламенєвский, В.Г. Мазья, E.Sanchez-Palencia). Крайові задачі в зєднаннях, кількість елементів яких залежить малого параметра і необмежено зростає при прямуванні малого параметра до нуля (густі сингулярно вироджувальні зєднання), мають свої специфічні труднощі і до цього часу не було розроблено загальних і строгих асимптотичних методів (мова йде про асимптотичні оцінки) для досліджень таких задач. При розрахунках стійкісних та динамічних характеристик конструкцій, які моделюються густими зєднаннями, а також в сучасних методах діагностики біологічних систем, дуже важливою є інформація про спектр частот власних коливань цих систем. Предмет досліджень - асимптотична поведінка власних значень і власних функцій крайових спектральних задач та асимптотична поведінка розвязків крайових задач в густих зєднаннях різних типів та в тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною; вплив крайових умов та інших характеристик задачі (густини та жорсткості матеріалів частин зєднання, геометричної конфігурації густих зєднань) на асимптотичну поведінку розвязків цих задач. При побудові перших членів асимптотичних розвинень застосовується метод узгодження асимптотичних розвинень (М. Вандайк, А.М. Ільїн, С.О. Назаров). Дослідження властивостей розвязків примежового шару базується на загальній теорії еліптичних крайових задач в областях з кусково-гладкою границею (В.А. Кондратьєв, О.А. Олійник, В.А. Мазья, С.О. Назаров, Б.А. Пламенєвский). Вивчено вплив крайових умов (Неймана, Фурє, Стєклова, Діріхле), які задаються на границях тонких приєднувальних областей, та геометричної конфігурації густого зєднання (тип зєднання; густе зєднання, яке складається з двох тіл; різна довжина тонких приєднувальних областей) на асимптотичну поведінку власних значень та власних функцій відповідних спектральних крайових задач в густих зєднаннях. В Підрозділі 2.1 доведено теореми про існування та концентрацію спектра таких оператор-функцій і отримано аналоги варіаційних принципів Фішера-Куранта-Вейля та Пуанкаре-Рітца для власних значень. Тут досліджуються властивості спектра такої оператор-функції (ОФ) L(l) = A(l) - I, l О (a,b) М R, де A(l) - неперервна самоспряжена компактна ОФ в гільбертовому просторі H з скалярним добутком (*,*); I - одиничний оператор в H.