Асимптотическое исследование контрастных структур в нелинейных математических моделях - Автореферат

Институт математического моделирования РАН На правах рукописи Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Асимптотическое исследование контрастных структур в нелинейных математических моделях 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Петров Александр Пхоун Чжо Москва - 2009 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт математического моделирования РАН Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент Российской академии образования Розов Николай Христович; доктор физико-математических наук, профессор Черняев Александр Петрович; доктор физико-математических наук Колдоба Александр Васильевич Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет. На первом этапе реализации триады «модель-алгоритм-программа» (А.А. Самарский, см. напр., [1-3]) строится математическая модель - «эквивалент объекта, отражающий в математической форме его основные свойства. Математическая модель или ее фрагменты исследуются всеми доступными способами, что не только позволяет получить предварительные сведения об объекте, но и помогает конструировать вычислительные алгоритмы применительно к специфике решаемых задач на следующем этапе реализации триады» [3]. Качественные и приближенные методы дают возможность провести анализ общих свойств моделей (законы сохранения, симметрия и инвариантность, связь с вариационными принципами и пр.), выработать базовые понятия, характерные для изучаемых явлений (области больших градиентов, фронты, вихри, сильные и слабые разрывы, солитоны, локализованные диссипативные структуры, аттракторы и области притяжения к ним и т.д.), а также наметить пути теоретического обоснования дискретных моделей и вычислительных алгоритмов. В качестве примеров вычислительных методов, построенных с учетом результатов качественного исследования моделей можно привести метод характеристик и родственные ему; однородные, консервативные и полностью консервативные схемы (А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Ю.П.Попов); семейство методов С.К.Годунова и родственных им; подходы, основанные на применении сопряженных уравнений (Г.И.Марчук и др.); вариационно-разностные схемы (А.А.Самарский, А.П.Фаворский, В.М.Головизнин, В.Ф.Тишкин и др.); кинетически согласованные разностные схемы (Б.Н.Четверушкин и др.); рациональные схемы (О.М.Белоцерковский и др.); адаптивные алгоритмы, использующие свойства решений, в том числе, при построении расчетных сеток. [4-8]) - решения сингулярно возмущенных задач, возникающие в задачах астрофизики [9-11], химической кинетики [12-13], биофизики [14-15], при изучении геофизической плазмы [16] и магнитных жидкостей [17-18]. В последнее время эти решения стали применяться также при изучении модели системы «власть-общество» [19-20]. Цель исследования - построение конструктивной асимптотической теории нестационарных контрастных структур в задачах для параболических уравнений с кубической нелинейностью, моделирующих процессы в моделях галактического динамо и в моделях системы «власть-общество». Методика исследования основана на развитии алгоритмов метода пограничных функций (А.Б. Васильева); теоретические построения дополняются и количественно уточняются с помощью вычислительных экспериментов. Данный подход позволил, с одной стороны, использовать достоинства асимптотического анализа (в частности: получить результаты относительно порядка времени жизни контрастных структур, что играет важную роль в приложениях), с другой - оценить границы его применимости. Предложена и теоретически обоснована методика построения пространственно-временной асимптотики нестационарных контрастных структур для указанного класса задач; для них задач получены выражения для главного члена асимптотики скорости контрастной структуры, - с помощью разработанной методики подробно исследована базовая задача и ряд ее обобщений; - все результаты обоснованы путем соответствующих теорем о невязках; пределы применимости асимптотик оценены с помощью вычислительных экспериментов. 2. В том числе: - построены пространственно-временные асимптотики стационарных и нестационарных контрастных структур, описывающих динамику распределения власти в иерархии; в частности, получен главный член асимптотики выражения для скорости движения точки перехода, - построенные асимптотики обоснованы путем соответствующих теорем о невязке; пределы применимости асимптотики оценены с помощью вычислительных экспериментов, - дана содержательная политологическая трактовка полученных математических результатов - в частности, введены понятия стационарного и нестационарного контрастных распределений власти, изучен ряд решений, могущих служить образцами типовых сценариев политического развития (построение «властной вертикали», конфедеративное распределение власти и др.). Разработанная асимптотическая теория может быть применена к анализу нестационарных контрастных структур, возникающих [8-19] в прикладных задача