Сравнительный анализ существующих методов построения моделей малых движений точки вблизи положения равновесия. Особенности применения математического аппарата операционного исчисления к построению таких моделей, алгоритм построения в в программе MatLab.
При низкой оригинальности работы "Анализ моделей движения материальной точки вблизи положения равновесия", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Рассмотрим систему движения материальной точки, которая под действием внешних воздействий совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя, представленное на рисунке 1, который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии. Зачастую инженер, неплохо разобравшись с одним методом, применяет этот метод к другим схожим задачам, например, сейчас широкое распространение получили численные методы. Численные методы позволяют решать большой класс задач практически любой сложности, однако, требуют громоздких и трудоемких однотипных выкладок, которые сложно решаются вручную.Этот этап алгоритма построения модели будет общим для всех методов, так как вне зависимости от применяемого математического аппарата, движение подчиняется строго определенным физическим закономерностям. В случае свободных колебаний (волны отсутствуют) и система (1.1.1) будет являться системой однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Строго говоря, эти коэффициенты согласно релятивистской теории, зависят от скоростей и при разных значениях скоростей по разным направлениям, должны отличаться друг от друга. Но поддающиеся регистрации отличия величин этих коэффициентов могут быть зафиксированы на скоростях, значительно превышающих любые скорости, достигаемые природными и техногенными макрообъектами в земных условиях. Коэффициенты, соответствующие движениям в горизонтальной плоскости , будут определяться упругими свойствами троса.Получение системы дифференциальных уравнений движения Алгоритмы построения модели в зависимости от примененного метода будут иметь различную длину и сложность. Это наглядно иллюстрируется при помощи построения диаграмм деятельности в программе SOFTWAREIDEASMODELER.4.91 для каждого из рассмотренных случаев (рис. Как видно, применение классического метода дает значительно более разветвленный и сложный алгоритм.Для построения моделей будем использовать приложение Simulink. Она позволяет вам моделировать систему простым перетаскиванием блоков в рабочую область и последующей установкой их параметров. Получив доступ к богатым возможностям моделирования и вычислений среды MATLAB и Simulink, можно решать задачи из реальной практики и развивать навыки программирования.Для построения модели нам понадобится ввести 9 начальных условий, которые легко можно будет изменить. Это даст возможность протестировать модель в разных вариациях.Для построения модели нам понадобится 9 начальных условий, которые в дальнейшем можно изменять, так как в классическом методе рассмотрены 4 случая решения задачи, на данной модели можно проверить все эти 4 случая. Ниже на рисунке 1.5.2.1, представлена модель, построенная классическим методом. В зависимости от корней уравнения (1.3.1), рассмотренного раньше, решение будет разделяться на 4 вида, два из них показывают незначительные колебания системы, а два других отображают колебания, которые затухают со временем. Построив модель, мы можем увидеть движения траектории буя на графике. По графику, видно, что колебания системы, со временем затухает, потому что здесь рассмотрен первый случай классического метода.В данной работе был осуществлен анализ существующих методов построения моделей малых движений точки, вблизи положения равновесия. Была показана принципиальная возможность применения математического аппарата операционного исчисления к построению таких моделей. Согласно сравнительной оценке двух методов, видно, что систему решать удобнее с помощью операционного метода.
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы
1.1 Математическое описание движения
1.2 Решение системы ОДУ операционным методом
1.3 Решение системы ОДУ классическим методом
1.4 Построение траектории движения выбранной системы
1.5 Построение моделей в программе MATLAB
1.5.1 Построение модели операционным методом
1.5.2 Построение модели классическим методом
2.Сравнение моделей движения материальной точки
Заключение
Библиографический список
Введение
Рассмотрим систему движения материальной точки, которая под действием внешних воздействий совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя, представленное на рисунке 1, который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.
Рис.В.1. График движения точки вблизи положения равновесия модель движение точка исчисление
В теории колебания зачастую приходится сталкиваться с необходимостью решения дифференциальных уравнений. Существует несколько принципиально разных подходов решения данной задачи.
Дифференциальные уравнения можно решать аналитически, численно и с помощью специальных методов математического анализа (операционный метод). Зачастую инженер, неплохо разобравшись с одним методом, применяет этот метод к другим схожим задачам, например, сейчас широкое распространение получили численные методы. Связанно это в первую очередь с широким распространением компьютерной техники. Численные методы позволяют решать большой класс задач практически любой сложности, однако, требуют громоздких и трудоемких однотипных выкладок, которые сложно решаются вручную. Увеличение сложности задач приводит к тому, что решение напрямую с помощью численных методов становится нецелесообразным, так как занимает слишком много времени и машинных ресурсов.
Между тем, многие задачи значительно упрощаются, если при их решении применять операционное исчисление, это позволило бы оптимизировать использование вычислительных мощностей при изучении колебательных процессов различной природы.
Целью данной работы является исследование алгоритмов построения моделей малых движений тела вблизи положения равновесия и выявление более эффективного метода.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: -рассмотрение особенностей задачи малых движений тела;
- изучение методов решения дифференциальных уравнений;
-построение моделей движения тела;
-практическая реализация построенных моделей;
- выявление преимуществ и недостатков каждого метода с точек зрения теории и практики;
1. Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы
В общем виде, точка в трехмерном пространстве может иметь три степени свободы, и ее колебание в таком случае будет являться сложением колебаний по каждому из свободных направлениям. Примером такого движения могут служить колебания атомов в кристаллической решетке.
Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя (см. рис. 1.1), который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.
Рисунок 1.1. Морской буй
Сравним алгоритмы построения модели малых движений буя относительно точки равновесия при помощи различных методов. При ее построении будем руководствоваться базовыми принципами построения математических моделей
1. Исходя из принципа множественности моделей, зададимся целью построить модель, описывающую траекторию движения буя.
2. Исходя из принципа информационной достаточности, условимся считать буй полой сферой при рассмотрении действующих на него архимедовой силы и силы сопротивления среды и материальной точкой во всех других случаях.
3. Исходя из принципа осуществимости, условимся считать движение буя суперпозицией движений по ортам трехмерной Декартовой системы координат.
Вывод
В данной работе был осуществлен анализ существующих методов построения моделей малых движений точки, вблизи положения равновесия. Была показана принципиальная возможность применения математического аппарата операционного исчисления к построению таких моделей. Также, была произведена оценка преимуществ и недостатка такого подхода. Разработаны алгоритмы построения малых моделей движения, которые были реализованы программно.
Согласно сравнительной оценке двух методов, видно, что систему решать удобнее с помощью операционного метода. Во первых, решение задачи намного проще, за счет простых математических операций. Во вторых, операционных метод решает наиболее быстрее, чем классический метод.
В итоге поставленные цели были достигнуты в полном объеме.
Частичные результаты данной работы были представлены на Решетневских чтениях в виде доклада и статьи, опубликованные в сборнике «Решетневские чтения». Данный метод может быть апробирован в рамках ИИТК в качестве лабораторных работ для студентов, изучающих дисциплину численные методы.
Список литературы
1. Добронравов В.В. Курс теоретической механики. Изд. 3-е, перераб. Учебник для вузов. М.: «Высшая школа», 1974.
2. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: Учеб. Пособие для втузов.- М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1988-336с.
3. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики.- М.: ГИТТЛ, Москва, 1951.
