Основные понятия и определения. * - алгебры. Представления. Тензорные произведения. Задача о двух ортопроекторах. Два ортопроектора в унитарном пространстве, в сепарабельном гильбертовом пространстве. Спектр суммы двух ортопроекторов.
Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности). В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В Главе II изучаются представления *-алгебры P<2P2 = С ,>порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]).Совокупность А элементов x, y, … называется алгеброй, если: 1) А есть линейное пространство; Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно перестановочны. Инволюцией в А называется такое отображение x > x* алгебры А в А, что (i) (x*)* = x; Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *-алгеброй.IMG_cd957c03-f76c-4df3-bb53-9bcbc4fd64a1 (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *-алгебру. 2) Пусть Т - локально компактное пространство, А = С(Т) - алгебра непрерывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ? > 0 множество {t IMG_d1053dbc-ee0e-4bc4-9460-cd6602c22d05 получаем коммутативную *-алгебру. 4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *-алгеброй, если ввести инволюцию А>А* (А IMG_b13944d0-6621-4970-b90b-68e77820ddec К(Н)).Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию ех = хе = х для всех х Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А? с единицей. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e. Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают.Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что f (x y) = f (x) f (y), f (?x) = ? f (x), f (xy) = f (x) f (y), f (x*) = f (x)* для любых х,y Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним. Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-y Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначаетсяПредставлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H). Представление ? называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов ? (х)f (для всех х IMG_590f533f-096a-46a2-a72c-aea8ea9bc1c1 I - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением ?, и если CARDI = c, то представления Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным ?. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.IMG_2191c9a2-d317-47ac-a939-dae45cddca46 . Его векторы имеют вид: f = IMG_e7b122bf-94f6-40bf-bc57-057ba7e495c8 разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению. IMG_5a9e5dfc-99c0-449a-b183-1bcf656b7382 и определяет оператор Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р<2 = 1.>Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов АР1 BP<2, a и b> Причем собственные значения 1 ? и 1-? входят в спектр А одновременно. IMG_0f785d1b-f617-4f2e-b05f-32f8e9c8ae5f (А), тогда Ах = ?х =?k ?l;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства. Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н<1=Н0,1> При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Н?к (к = 1,…, s), и собственные значения 1 ?к, 1-?к входят одновременно в спектр А.В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления ……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1 Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = АР1 BP2 (0<а<b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература ………………………………………………………………………..56
Вывод
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .
Изучен спектр операторов Р1 Р2, АР1 BP2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 Р2 и А = АР1 BP2 (0<a<b).
Список литературы
1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11. NISHIOK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
