Угловое распределение волновой функции электрона для водородоподобной модели атомов. Описание электронных свойств атома с помощью уравнения Шредингера. Построение графика 3D4d-орбитали в среде LabView с заменой декартовой системы координат на сферическую.
Аннотация к работе
LABVIEW - это среда графического программирования, которую используют технические специалисты, инженеры, преподаватели и ученые по всему миру для быстрого создания комплексных приложений в задачах измерения, тестирования, управления, автоматизации научного эксперимента и образования. Все электронные свойства атома описываются уравнением Шредингера(1) - уравнением квантовой механики, которое позволяет вычислить все возможные значения энергий, которыми электрон может обладать в атоме, а также зависящую от координат электрона волновую функцию ?, с помощью которой можно вычислить различные характеристики электрона [2]. Такое представление волновой функции позволяет разбить уравнение Шредингера для атома водорода на три уравнения в сферических координатах. Решая эти уравнения по отдельности, можно получить волновую функцию и рассчитать возможные значения энергии атома водорода. В атоме угловой механический момент электрона жестко связан с вектором магнитного момента, энергия которого во внешнем магнитном поле зависит отВ ходе осуществления данной работы были решены поставленные задачи, и построен график 3D4d-орбитали (l=2, m=0).
Введение
LABVIEW - это среда графического программирования, которую используют технические специалисты, инженеры, преподаватели и ученые по всему миру для быстрого создания комплексных приложений в задачах измерения, тестирования, управления, автоматизации научного эксперимента и образования. В основе LABVIEW лежит концепция графического программирования - последовательное соединение функциональных блоков на блок-диаграмме[1].
Целью данной работы является провести визуализацию углового распределения волновой функции электрона для водородоподобной модели атомов.
Задачи: 1) Построить 3D график 4d-орбитали (l=2, m=0).
2) Составить отчет по проделанной работе.
1. Теоретическая часть
Волновая функция для водородоподобной модели атома
Простейшая химическая система - атом водорода, который состоит из отрицательно заряженного электрона и ядра, несущего положительный заряд.
Все электронные свойства атома описываются уравнением Шредингера(1) - уравнением квантовой механики, которое позволяет вычислить все возможные значения энергий, которыми электрон может обладать в атоме, а также зависящую от координат электрона волновую функцию ?, с помощью которой можно вычислить различные характеристики электрона [2].
IMG_de49d934-2335-4e4b-9065-173f0c7245ce
IMG_08b3eaad-f49c-4fa1-8d41-1137c67045e2
. (1)
Перейдем от декартовых координат
IMG_d7c77f0c-181a-4fa4-a8a2-1b8db30db54f
IMG_f921c755-d52d-4c9d-b521-6e406f5e0eae к сферическим координатам
IMG_6e5a72b6-fafe-4e3f-8bf9-e1d9758da920
IMG_393f7d08-e415-4546-825f-faeae63e26d1 .
Связь между координатами точки, в которую направлен радиус-вектор
IMG_2f78866e-3b3a-47b2-9ec7-fea521ad5a3d
IMG_d0a6e4c6-ec35-4731-a39b-55eebd82b53a в разных системах, описывается следующим образом:
IMG_d0d6e30c-37d5-481c-8036-e80edf0190b4
IMG_e55d04f4-3802-4521-b2fc-8779bc8a2244
IMG_0a597ca6-c5ee-4fef-bbb7-125e099fc2ac
,
IMG_001d7c23-7a8b-420b-ab5f-b2e187dd75cb
IMG_e49de995-bbaf-4dd8-b39d-9b41f0259cb4 ;
IMG_4b1f0d53-e419-4d4b-9bad-389294a676e7
Переход к сферической системе координат позволяет представить волновую функцию в виде произведения:
IMG_e925fb56-b1e9-4794-807b-4a240bea9fa5
IMG_fba0b456-5098-4655-8fed-9742a32c1916
, радиальной
IMG_c89bfb0c-9346-4202-b4b8-b3f52f81e887
IMG_f28d20b7-2217-4e89-bd38-c44390f83163 и угловой
IMG_3557cf70-17b6-42b1-8759-3190d7e4ac37
IMG_628392dc-c77c-4964-b501-2e3b109fc99c частей.
Такое представление волновой функции позволяет разбить уравнение Шредингера для атома водорода на три уравнения в сферических координатах. Решая эти уравнения по отдельности, можно получить волновую функцию и рассчитать возможные значения энергии атома водорода.
Изменение угла ? может рассматриваться, как вращение электрона в плоскости, которое описывается уравнением бегущей волны
IMG_8540d00f-54f3-4010-aa0f-e7c2e4681e7d
IMG_eb6de954-31fb-4312-ab5f-fc5151e2fd4f . Согласно условию однозначности волновой функции, один полный оборот приводит систему в исходное положение, в итоге:
IMG_d7c96613-aff2-4135-8bf5-e7ad0a48dca6
В атоме угловой механический момент электрона жестко связан с вектором магнитного момента, энергия которого во внешнем магнитном поле зависит от
IMG_375645f5-623d-45fa-8c83-045040e49236
IMG_acdef128-1de9-4433-b123-de4958f35693 . Поэтому
IMG_bdb6c0ed-c03a-4897-bd7d-cd448f10bcbe
IMG_fee05897-b5b6-43af-981f-11e283135d09 называется магнитным квантовым числом. Это число определяет возможные проекции вектора углового момента электрона на ось
IMG_cd0cdc37-651b-4658-84a7-0300a78f8482
IMG_d1f34b0a-88d8-4309-8242-70e50fbb2c67 , то есть ориентацию механического углового момента электрона в пространстве. В силу целочисленности
IMG_6882fd86-e262-4e24-bfa6-71a0de6162c0
IMG_96fad289-5a07-411b-8ec3-a718cf0146b8 , эти проекции дискретны.
Зависимость от угла
IMG_8398c829-8ae7-4ebf-82fa-cd0cc5ad71ab
IMG_a763f131-c2ff-44d8-9d28-753af39b4a11 имеет вид:
IMG_f9199d48-e339-40f9-b51f-d735688a6d76
где,
IMG_6cb6874f-4310-4889-aada-ea3c843365eb
IMG_2fa1caf8-df3d-4ff4-9978-7063f763a876 - множитель, зависящий от
IMG_9d42ea42-6006-4bcf-acfd-b55845505e81
IMG_8997db43-e20c-467e-bdff-a8e7fa4a270a ;
IMG_bea5d8b7-1a02-4958-b054-0c27f28093e0
IMG_cadcfbc2-ac0d-4339-bb0f-62f65e2dedd5 ,
IMG_cea92587-8a24-4e8e-a884-d818a65cfdfd
IMG_f4763e5c-92f2-418b-80b4-e7d63ab961dd .
Функции
IMG_7abf7a2a-c170-4adb-95d0-a952bffdd4aa
IMG_7ac9d7e2-c8e7-4bf3-800a-67e305a68ec7 называются нормированными присоединенными полиномами Лежандра.
Решение для угловой части уравнения Шредингера для атома водорода имеет следующий вид[3]:
IMG_2657ec46-a12e-4ed6-b9d6-84a1578a9b2f
Комплексные функции
IMG_02277e1e-d651-4458-8074-cf14a44f1388
IMG_cf07fb57-3407-420b-ae4c-8daad4a148ef называются сферическими гармониками.
Для конкретного
IMG_f3f2eb86-f396-4248-b764-94e53c013449
IMG_336c2952-27c7-410e-a736-3d58a2c0c370 имеется
IMG_f7e6d3e7-24cf-427b-bbe0-1bbe3b106a1c
IMG_ab7b638a-eb14-40b9-b679-47d1d56ea79a поверхностей, проходящих через положение ядра, где функция
IMG_0c1d18ac-2769-4d51-8b12-f4821224010e
IMG_cd0a5a31-e283-488e-972b-53d38b7da1b5 обращается в нуль, они называются узловыми поверхностями или просто узлами. Вероятность найти электрон в узле равна нулю. Таким образом, для каждого
IMG_f4554676-6ae4-4cd0-99d5-9b534970e031
IMG_49988672-94e9-46d3-ab30-2abe06ac82a0 имеются
IMG_415d451a-30bf-44f8-b94c-4d999c44000c
IMG_05786b86-1fa8-47e2-baea-9bbe320385ff сферических гармоник, отличающихся положением в пространстве узловых поверхностей, квантовое число
IMG_b330e8e8-6ac1-4731-b0e2-914b3f90c47d
IMG_1772f3da-58c7-4161-b65f-92b704247635 определяет ориентацию узловых поверхностей.
Наличие узловых поверхностей у волновой функции атомов связано с волновыми свойствами электронов. В любой волне имеются точки, в которых смещение колеблющейся величины равно нулю, а в случае, когда колебания происходят в трех измерениях, совокупность этих точек образует узловую поверхность. волновой атом график электрон
2. Практическая часть
Построить график функции 4d-орбиталь (l=2,m=0).
Итак, преступим к решению нашей задачи: 1) Зададим диапазон аргумента и ординаты (Xmin; Xmax;Ymin;Ymax).
2) Затем определимся с количеством разбиений нашего аргумента (N).
3) Выведем формулу. Пусть x будет
IMG_a244366a-8f18-4b40-94e1-3211fc9efef6
IMG_2f156614-a764-41f6-a39c-e002f13eb99b , а y
IMG_32f740f1-5737-4354-bc00-6eebfead3c9d
IMG_788ba649-cc04-483a-a9ba-a5a12f05037e ,тогда для (l=2, m=0) получается формула следующего вида[4]:
IMG_03bacc73-a7d5-4047-93d9-d216819ddb91 (2)
4) Приступаем к реализации этой формулы в среде LABVIEW.
IMG_1052d8c4-f8d3-4ac4-b590-fe8df70c2fd4
Рисунок 1 - Циклы Forloop для перебора x и y
5) Для перебора всех x и y используем цикл Forloop, который позволяет перебрать все значения Xi и Yi от 0 до N. Получившиеся значения сохраняем в массивах Array 2 и Array 3.
Теперь, когда у нас есть значения Xi ИУІ, приступаем к нахождению Zi.
6) Создадим цикл Forloop и внутрь которого вложим еще один цикл Forloop и реализуем формулу (1) для нахождения Zi.
IMG_c81d4bf8-3ebb-40ad-b40c-ca0abda23332
Рисунок 2 - Формула для нахождения Zi на блок диаграмме
7) Включаем индексацию, для того чтобы все x перебрались относительно y, а уотносительно x.
8) На выходе создаем массив Array и записываем в него все получившие значения Zi.
IMG_c3535863-363f-4547-8d3a-237af85e0e62
Рисунок 3 - Массив Arrayи 3DSURFACE
9) Подключаем массивы Zi ,Yi ,Xi к 3DSURFACE и получим график.
Заменим систему координат на сферическую:
IMG_96e7b7cb-eb2c-4274-aae9-38c19c8b221f
Рисунок 4 - Замена системы координат
Так выглядит решение на блок-диаграмме:
IMG_95eb4f8a-c39d-4468-9f74-dce468100708
Рисунок 5 - Формула на блок диаграмме
Вывод
В ходе осуществления данной работы были решены поставленные задачи, и построен график 3D4d-орбитали (l=2, m=0). Были получены навыки построения трехмерных графиков и замены системы координат.