3D-Визуализация - Практическая работа

LABVIEW - это среда графического программирования, которую используют технические специалисты, инженеры, преподаватели и ученые по всему миру для быстрого создания комплексных приложений в задачах измерения, тестирования, управления, автоматизации научного эксперимента и образования. Все электронные свойства атома описываются уравнением Шредингера(1) - уравнением квантовой механики, которое позволяет вычислить все возможные значения энергий, которыми электрон может обладать в атоме, а также зависящую от координат электрона волновую функцию ?, с помощью которой можно вычислить различные характеристики электрона [2]. Такое представление волновой функции позволяет разбить уравнение Шредингера для атома водорода на три уравнения в сферических координатах. Решая эти уравнения по отдельности, можно получить волновую функцию и рассчитать возможные значения энергии атома водорода. В атоме угловой механический момент электрона жестко связан с вектором магнитного момента, энергия которого во внешнем магнитном поле зависит отВ ходе осуществления данной работы были решены поставленные задачи, и построен график 3D4d-орбитали (l=2, m=0).

LABVIEW - это среда графического программирования, которую используют технические специалисты, инженеры, преподаватели и ученые по всему миру для быстрого создания комплексных приложений в задачах измерения, тестирования, управления, автоматизации научного эксперимента и образования. В основе LABVIEW лежит концепция графического программирования - последовательное соединение функциональных блоков на блок-диаграмме[1].

Целью данной работы является провести визуализацию углового распределения волновой функции электрона для водородоподобной модели атомов.

Задачи: 1) Построить 3D график 4d-орбитали (l=2, m=0).

2) Составить отчет по проделанной работе.

1. Теоретическая часть

Волновая функция для водородоподобной модели атома

Простейшая химическая система - атом водорода, который состоит из отрицательно заряженного электрона и ядра, несущего положительный заряд.

Все электронные свойства атома описываются уравнением Шредингера(1) - уравнением квантовой механики, которое позволяет вычислить все возможные значения энергий, которыми электрон может обладать в атоме, а также зависящую от координат электрона волновую функцию ?, с помощью которой можно вычислить различные характеристики электрона [2].

IMG_de49d934-2335-4e4b-9065-173f0c7245ce

IMG_08b3eaad-f49c-4fa1-8d41-1137c67045e2

. (1)

Перейдем от декартовых координат

IMG_d7c77f0c-181a-4fa4-a8a2-1b8db30db54f

IMG_f921c755-d52d-4c9d-b521-6e406f5e0eae к сферическим координатам

IMG_6e5a72b6-fafe-4e3f-8bf9-e1d9758da920

IMG_393f7d08-e415-4546-825f-faeae63e26d1 .

Связь между координатами точки, в которую направлен радиус-вектор

IMG_2f78866e-3b3a-47b2-9ec7-fea521ad5a3d

IMG_d0a6e4c6-ec35-4731-a39b-55eebd82b53a в разных системах, описывается следующим образом:

IMG_d0d6e30c-37d5-481c-8036-e80edf0190b4

IMG_e55d04f4-3802-4521-b2fc-8779bc8a2244

IMG_0a597ca6-c5ee-4fef-bbb7-125e099fc2ac

,

IMG_001d7c23-7a8b-420b-ab5f-b2e187dd75cb

IMG_e49de995-bbaf-4dd8-b39d-9b41f0259cb4 ;

IMG_4b1f0d53-e419-4d4b-9bad-389294a676e7

Переход к сферической системе координат позволяет представить волновую функцию в виде произведения:

IMG_e925fb56-b1e9-4794-807b-4a240bea9fa5

IMG_fba0b456-5098-4655-8fed-9742a32c1916

, радиальной

IMG_c89bfb0c-9346-4202-b4b8-b3f52f81e887

IMG_f28d20b7-2217-4e89-bd38-c44390f83163 и угловой

IMG_3557cf70-17b6-42b1-8759-3190d7e4ac37

IMG_628392dc-c77c-4964-b501-2e3b109fc99c частей.

Такое представление волновой функции позволяет разбить уравнение Шредингера для атома водорода на три уравнения в сферических координатах. Решая эти уравнения по отдельности, можно получить волновую функцию и рассчитать возможные значения энергии атома водорода.

Изменение угла ? может рассматриваться, как вращение электрона в плоскости, которое описывается уравнением бегущей волны

IMG_8540d00f-54f3-4010-aa0f-e7c2e4681e7d

IMG_eb6de954-31fb-4312-ab5f-fc5151e2fd4f . Согласно условию однозначности волновой функции, один полный оборот приводит систему в исходное положение, в итоге:

IMG_d7c96613-aff2-4135-8bf5-e7ad0a48dca6

В атоме угловой механический момент электрона жестко связан с вектором магнитного момента, энергия которого во внешнем магнитном поле зависит от

IMG_375645f5-623d-45fa-8c83-045040e49236

IMG_acdef128-1de9-4433-b123-de4958f35693 . Поэтому

IMG_bdb6c0ed-c03a-4897-bd7d-cd448f10bcbe

IMG_fee05897-b5b6-43af-981f-11e283135d09 называется магнитным квантовым числом. Это число определяет возможные проекции вектора углового момента электрона на ось

IMG_cd0cdc37-651b-4658-84a7-0300a78f8482

IMG_d1f34b0a-88d8-4309-8242-70e50fbb2c67 , то есть ориентацию механического углового момента электрона в пространстве. В силу целочисленности

IMG_6882fd86-e262-4e24-bfa6-71a0de6162c0

IMG_96fad289-5a07-411b-8ec3-a718cf0146b8 , эти проекции дискретны.

Зависимость от угла

IMG_8398c829-8ae7-4ebf-82fa-cd0cc5ad71ab

IMG_a763f131-c2ff-44d8-9d28-753af39b4a11 имеет вид:

IMG_f9199d48-e339-40f9-b51f-d735688a6d76

где,

IMG_6cb6874f-4310-4889-aada-ea3c843365eb

IMG_2fa1caf8-df3d-4ff4-9978-7063f763a876 - множитель, зависящий от

IMG_9d42ea42-6006-4bcf-acfd-b55845505e81

IMG_8997db43-e20c-467e-bdff-a8e7fa4a270a ;

IMG_bea5d8b7-1a02-4958-b054-0c27f28093e0

IMG_cadcfbc2-ac0d-4339-bb0f-62f65e2dedd5 ,

IMG_cea92587-8a24-4e8e-a884-d818a65cfdfd

IMG_f4763e5c-92f2-418b-80b4-e7d63ab961dd .

Функции

IMG_7abf7a2a-c170-4adb-95d0-a952bffdd4aa

IMG_7ac9d7e2-c8e7-4bf3-800a-67e305a68ec7 называются нормированными присоединенными полиномами Лежандра.

Решение для угловой части уравнения Шредингера для атома водорода имеет следующий вид[3]:

IMG_2657ec46-a12e-4ed6-b9d6-84a1578a9b2f

Комплексные функции

IMG_02277e1e-d651-4458-8074-cf14a44f1388

IMG_cf07fb57-3407-420b-ae4c-8daad4a148ef называются сферическими гармониками.

Для конкретного

IMG_f3f2eb86-f396-4248-b764-94e53c013449

IMG_336c2952-27c7-410e-a736-3d58a2c0c370 имеется

IMG_f7e6d3e7-24cf-427b-bbe0-1bbe3b106a1c

IMG_ab7b638a-eb14-40b9-b679-47d1d56ea79a поверхностей, проходящих через положение ядра, где функция

IMG_0c1d18ac-2769-4d51-8b12-f4821224010e

IMG_cd0a5a31-e283-488e-972b-53d38b7da1b5 обращается в нуль, они называются узловыми поверхностями или просто узлами. Вероятность найти электрон в узле равна нулю. Таким образом, для каждого

IMG_f4554676-6ae4-4cd0-99d5-9b534970e031

IMG_49988672-94e9-46d3-ab30-2abe06ac82a0 имеются

IMG_415d451a-30bf-44f8-b94c-4d999c44000c

IMG_05786b86-1fa8-47e2-baea-9bbe320385ff сферических гармоник, отличающихся положением в пространстве узловых поверхностей, квантовое число

IMG_b330e8e8-6ac1-4731-b0e2-914b3f90c47d

IMG_1772f3da-58c7-4161-b65f-92b704247635 определяет ориентацию узловых поверхностей.

Наличие узловых поверхностей у волновой функции атомов связано с волновыми свойствами электронов. В любой волне имеются точки, в которых смещение колеблющейся величины равно нулю, а в случае, когда колебания происходят в трех измерениях, совокупность этих точек образует узловую поверхность. волновой атом график электрон

2. Практическая часть

Построить график функции 4d-орбиталь (l=2,m=0).

Итак, преступим к решению нашей задачи: 1) Зададим диапазон аргумента и ординаты (Xmin; Xmax;Ymin;Ymax).

2) Затем определимся с количеством разбиений нашего аргумента (N).

3) Выведем формулу. Пусть x будет

IMG_a244366a-8f18-4b40-94e1-3211fc9efef6

IMG_2f156614-a764-41f6-a39c-e002f13eb99b , а y

IMG_32f740f1-5737-4354-bc00-6eebfead3c9d

IMG_788ba649-cc04-483a-a9ba-a5a12f05037e ,тогда для (l=2, m=0) получается формула следующего вида[4]:

IMG_03bacc73-a7d5-4047-93d9-d216819ddb91 (2)

4) Приступаем к реализации этой формулы в среде LABVIEW.

IMG_1052d8c4-f8d3-4ac4-b590-fe8df70c2fd4

Рисунок 1 - Циклы Forloop для перебора x и y

5) Для перебора всех x и y используем цикл Forloop, который позволяет перебрать все значения Xi и Yi от 0 до N. Получившиеся значения сохраняем в массивах Array 2 и Array 3.

Теперь, когда у нас есть значения Xi ИУІ, приступаем к нахождению Zi.

6) Создадим цикл Forloop и внутрь которого вложим еще один цикл Forloop и реализуем формулу (1) для нахождения Zi.

IMG_c81d4bf8-3ebb-40ad-b40c-ca0abda23332

Рисунок 2 - Формула для нахождения Zi на блок диаграмме

7) Включаем индексацию, для того чтобы все x перебрались относительно y, а уотносительно x.

8) На выходе создаем массив Array и записываем в него все получившие значения Zi.

IMG_c3535863-363f-4547-8d3a-237af85e0e62

Рисунок 3 - Массив Arrayи 3DSURFACE

9) Подключаем массивы Zi ,Yi ,Xi к 3DSURFACE и получим график.

Заменим систему координат на сферическую:

IMG_96e7b7cb-eb2c-4274-aae9-38c19c8b221f

Рисунок 4 - Замена системы координат

Так выглядит решение на блок-диаграмме:

IMG_95eb4f8a-c39d-4468-9f74-dce468100708

Рисунок 5 - Формула на блок диаграмме

В ходе осуществления данной работы были решены поставленные задачи, и построен график 3D4d-орбитали (l=2, m=0). Были получены навыки построения трехмерных графиков и замены системы координат.

Размещено на .ru