Дослідження властивостей зважених псевдообернених матриць і нормальних псевдорозв’язків як з додано означеними та із виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії і основою побудови методів розв’язування задач лінійної алгебри.
Аннотация к работе
Математичне моделювання різних процесів, явищ, систем у ряді випадків приводить до задач, при розвязуванні яких на певному етапі необхідно обчислювати зважені псевдообернені матриці і зважені нормальні псевдорозвязки систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Дослідженню властивостей зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків і побудові методів розвязування цих задач приділено значно менше уваги, ніж цим же питанням для псевдообернених матриць Мура-Пенроуза і нормальних псевдорозвязків. Тому методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків можна умовно розділити на дві групи: методи розвязування цих задач з довільними прямокутними матрицями і методи розвязування зазначених задач з матрицями визначеної структури і відомими властивостями. Мета досліджень - створити теоретичні основи розробки методів розвязування рівнянь математичних моделей явищ, процесів, систем, які приводять до обчислення зважених псевдообернених матриць, зважених псевдорозвязків і розвязування умовно коректних еліптичних крайових задач, та побудувати методи розвязування зазначених вище задач. В роботах, що написані у співавторстві, автору дисертації належить: [1] - розробка алгоритму методу матричної декомпозиції для розвязування різницевої задачі Неймана; [2] - ідея використання сіткової матриці Гріна при доведенні збіжності різницевої схеми та її реалізація; [5, 6, 8] - доведення збіжності різницевих схем; [7] - зображення зваженої псевдооберненої матриці в термінах коефіцієнтів характеристичного многочлену матриці, що симетризується; [9] - паралельні алгоритми ітераційних методів розвязування СЛАР; [10, 12, 13, 15, 18] - дослідження варіаційних постановок крайових задач з єдиним розвязком на підпросторі; [16] - обгрунтування формул граничного зображення зважених псевдообернених матриць; [19, 30] - алгоритми паралельних обчислень для явного чебишевського методу; [28] - дослідження ітераційних методів для обчислення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами; [29, 33] - ідея реалізації принципу прихованого паралелізму; [31] - паралельні алгоритми для методу верхньої релаксації.В результаті виконання роботи: 1.Створено теоретичні основи побудови чисельних методів лінійної алгебри в напрямку розвязування математичних задач, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях, а саме, досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків як з додатно означеними, так із виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії і теоретичною основою побудови методів розвязування ряда задач лінійної алгебри: обчислення зважених псевдообернених матриць, ML-зважених псевдообернених матриць, зважених нормальних псевдорозвязків, ML-зважених нормальних псевдорозвязків, L-псевдорозвязків, Lg-псевдорозвязків, розвязків задач зважених найменших квадратів, розвязування задач найменших квадратів з обмеженнями. Побудовано і досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків. На основі нових математичних моделей розроблена методологія одержання методами скінченних елементів і скінченних різниць та дослідження дискретних моделей задач, що апроксимують названі вище крайові з наближено заданими вхідними даними. Для задачі Неймана для квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку сформульована та досліджена задача визначення єдиного узагальненого розвязку без додаткових умов на клас функцій, на основі чого запропоновано метод одержання і дослідження різницевих схем, що апроксимують цю задачу. Визначено звязок між узагальненими сітковими функціями Гріна оператора різницевої задачі Неймана для рівняння Пуассона і елементами зваженої псевдооберненої матриці до матриці, що відповідає цьому різницевому оператору.
Вывод
В результаті виконання роботи: 1.Створено теоретичні основи побудови чисельних методів лінійної алгебри в напрямку розвязування математичних задач, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях, а саме, досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків як з додатно означеними, так із виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії і теоретичною основою побудови методів розвязування ряда задач лінійної алгебри: обчислення зважених псевдообернених матриць, ML-зважених псевдообернених матриць, зважених нормальних псевдорозвязків, ML-зважених нормальних псевдорозвязків, L-псевдорозвязків, Lg-псевдорозвязків, розвязків задач зважених найменших квадратів, розвязування задач найменших квадратів з обмеженнями.
2. Побудовано і досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків. Показано, що розроблені ітераційні методи можна адаптувати для розвязування інших задач лінійної алгебри, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях.
3. Побудовано нові математичні моделі для усталених процесів різної фізичної природи, класичні математичні моделі яких сформульовані у вигляді умовно коректних крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь. На основі нових математичних моделей розроблена методологія одержання методами скінченних елементів і скінченних різниць та дослідження дискретних моделей задач, що апроксимують названі вище крайові з наближено заданими вхідними даними. Запропоновано дискретні задачі двох типів, одні з яких доцільно розвязувати прямими методами, а другі - ітераційними.
4. Для задачі Неймана для квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку сформульована та досліджена задача визначення єдиного узагальненого розвязку без додаткових умов на клас функцій, на основі чого запропоновано метод одержання і дослідження різницевих схем, що апроксимують цю задачу.
5. Визначено звязок між узагальненими сітковими функціями Гріна оператора різницевої задачі Неймана для рівняння Пуассона і елементами зваженої псевдооберненої матриці до матриці, що відповідає цьому різницевому оператору.
6. Побудовані та досліджені паралельні алгоритми ітераційних методів для обчислення зважених нормальних псевдорозвязків і розвязування сіткових рівнянь.
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ
Галба Е.Ф., Семенченко С.П. Численное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона// Численный анализ и вопросы оптимизации вычислений.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1976.- С. 3 - 12.
Молчанов И.Н., Хойер Г., Галба Е.Ф. Численное решение плоской статической задачи теории упругости в анизотропном случае// Вычисл. и прикл. математика: Республиканский межведомственный научный сборник.- Киев: Вища школа, 1977.- №31.- С. 9 - 23.
Галба Е.Ф. О сходимости регуляризованной разностной схемы для задачи Неймана// Численный анализ.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1978.- С. 59 - 64.
Галба Е.Ф. Попеременно-треугольный метод для разностной задачи теории упругости в прямоугольнике// Оптимизация вычислений и численный анализ.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1980. - С. 49 - 54.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. О сходимости разностных схем для второй краевой задачи теории упругости// Докл. АН УССР.- 1982.- Сер.А, №11.- С. 11 - 14.
Molchanov I.N., Galba E.F. Difference methods for elliptic partial differential equations with nonunique solutions// SIAM J. Numer. Anal.- 1982.- 19, №3.- P. 531 - 547.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение комплексных матриц// Укр. матем. журн. - 1983.- 35, №1.- С. 53 - 57.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. О точности метода сеток в задаче Неймана// Вычисл. и прикл. математика: Республиканский межведомственный научный сборник.- Киев: Вища школа, 1983.-№50.- С. 61 - 66.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф., Степанец Н.И. Реализация итерационных методов на многопроцессорной ЭВМ с параллельной организацией вычислений// Кибернетика.- 1983.-№4.- С. 18 - 23.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Дискретизация задачи Неймана методом конечных элементов// Докл. АН УССР.- 1984.- Сер.А, №12.- С. 17 - 19.
Галба Е.Ф. О попеременно-треугольном методе для решения третьей краевой задачи// Численные методы и их оптимизация.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1984.- С. 72 - 78.
Molchanov I.N., Galba E.F. On finite element methods for the Neumann problem// Numer. Math.- 1985.- 46, №4.- P. 587 - 598.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки второй краевой задачи теории упругости// Докл. АН УССР.- 1986.- Сер.А, №8.- С. 17 - 20.
Галба Е.Ф. О сходимости разностных схем для плоской задачи теории упругости с разрывными коэффициентами// Оптимизация вычислений и численные методы.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1987.- С. 7 - 11.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки и дискретизация задачи прогиба тонкой пластинки со свободной границей// Докл. АН УССР.- 1988.- Сер.А, №3.- С.24 - 26.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение матриц с положительно определенными весами// Докл. АН УССР.- 1989.- Сер.А, №7.- С. 15 - 17.
Галба Е.Ф. Проекционные постановки и численное решение задачи Неймана для квазилинейного эллиптического уравнения// Технология и методы решения задач прикладной математики.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1991.- С. 107 - 110.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки статической задачи теории упругости при заданных внешних силах// Укр. матем. журн. -
1991.- 43, №2.- С. 158 - 161.
Брусникин В.Н., Визнюк Г.И., Галба Е.Ф., Геец Е.Г., Коробова С.М., Мазыра Г.П., Нестеренко А.Н., Решетуха И.В., Рудич О.В., Химич А.Н., Черненко А.С., Шашкина С.И. Решение на MIMD-компьютере некоторых задач вычислительной математики// Кибернетика и вычислительная техника: Республиканский межведомственный сборник научных трудов. - Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН Украины, 1992.- Вып. 93. - С. 94 - 100.
Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение матриц с вырожденными весами// Укр. матем. журн. - 1994.- 46, №10.- С. 1323 - 1327.
Галба Е.Ф. Разложение в ряды взвешенных псевдообратных матриц// Доп. НАН Укра?ни.- 1995.- №12.-С. 5 - 7.
Галба Е.Ф. Итерационные методы для вычисления взвешенной псевдообратной матрицы// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1996.- 36, №6.- С. 28 - 39.
Галба Е.Ф. Взвешенное сингулярное разложение и взвешенное псевдообращение матриц// Укр. матем. журн. - 1996.- 48, №10.- С. 1426 - 1430.
Галба Е.Ф. Представление взвешенной псевдообратной матрицы через другие псевдообратные матрицы// Доп. НАН Укра?ни.- 1997.- №4.- С. 12 - 17.
Галба Е.Ф Итерационные методы для вычисления взвешенного нормального псевдорешения с положительно определенными весами// Кибернетика и системный анализ.- 1998.- №2.- С. 105 - 115.
Галба ?.Ф. Розвинення в ряди зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами та ?терац?йн? процеси// Теор?я обчислень.- Зб?рник наукових праць.- Ки?в: Ін-т к?бернетики ?м В.М. Глушкова НАН Укра?ни, 1999.- С. 97 - 101.
Галба Е.Ф Итерационные методы для вычисления взвешенного нормального псевдорешения с вырожденными весами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1999.- 39, №6.- С. 882 - 896.
Галба Е.Ф., Молчанов И.Н., Скопецкий В.В. Итерационные методы для вычисления взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами// Кибернетика и системный анализ.- 1999.- №5.- С. 150 - 169.
Молчанов І.М., Галба Є.Ф., Попов О.В., Хіміч О.М., Чистякова Т.В., Яковлев М.Ф. Інтелектуальний інтерфейс для дослідження та розвязування задач обчислювальної математики з наближено заданими вхідними даними на MIMD-компютері// Проблемы программирования (Специальный выпуск. Материалы Второй международной научно-практической конференции по программированию. УКРПРОГ’2000) - 2000. - № 1 - 2. - С. 102 - 112.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф., Степанец Н.И. Алгоритмы параллельных вычислений для решения сеточных уравнений на многопроцессорной ЭВМ// Материалы VII Всесоюзного семинара по комплексам программ математической физики. - Новосибирск: СО АН СССР, Инстиут теоретической и прикладной механики. - 1982.- С. 143 - 147.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Параллельные вычисления в итерационных методах решения сеточных уравнений на MIMD-машине ЕС-1766// Высокопроизводительные вычислительные системы для комплексных центров математического моделирования. Архитектура и общесистемное математическое обеспечение. - Труды Всесоюзной конференции ’’Высокопроизводительные вычислительные системы для комплексных центров математического моделирования’’.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР.- 1991.- С. 93 - 104.
Галба ?.Ф. Зважене псевдообернення, матриц?, що симетризуються, ? регуляризац?я задач// Прац? м?жнародно? конференц?? ’’Питання оптимизац?? обчислень’’.- Ки?в: Ін-т к?бернетики ?м В.М. Глушкова НАН Укра?ни, 1997.- С. 56 - 60.
Молчанов И.Н., Галба Е.Ф., Попов А.В., Химич А.Н., Яковлев М.Ф. Скрытый параллелизм - составная часть интеллектуальных программных средств для параллельных компьютеров// Праці Першої міжнародної науково-практичної конференції з програмування (УКРПРОГ’98). - Київ: Кібцентр НАНУ, 1998. - С. 267 - 270.