Неперервні знизу і зверху відображення зі значеннями у прямій Зорґенфрея. Перенесення теореми Кендерова на квазінеперервні зверху відображення. Аналіз зв’язків між нарізними та сукупними властивостями відображень на добутку топологічних просторів.
Аннотация к работе
Дослідженням звязків між нарізними і сукупними властивостями функцій інтенсивно займались математики впродовж ХХ століття, починаючи з класичних робіт Р. Цими дослідженнями продовжували займатись такі математики як Г. Ті результати, які були одержані в цих працях часто спирались на поняття неперервності зверху і знизу для многозначних відображень і теореми про звязки між цими поняттями. Дебс встановили теореми про автоматичну неперервність знизу чи, відповідно, зверху на залишковій множині неперервних зверху чи знизу відображень при певних умовах на простір значень або на відображення. Оскільки отримані результати стосувалися тільки відображень зі значеннями в метризовних просторах, то актуально було дослідити можливість їх розширення на випадок деяких класів просторів, які близькі до метризовних, наприклад-метризовні простори та їх підкласи, чи конкретного неметризовного простору, як-от пряма Зорґенфрея. квазінеперервний відображення нарізний сукупнийУ вступі дисертації розкрито суть і стан наукової роботи, якій присвячене дисертаційне дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження. У першому розділі зроблено огляд публікацій, що близькі до тематики дисертаційної роботи, наведено основні результати дисертації і результати, які використовуються в дисертації. Многозначне відображення [EQ] називається неперервним зверху /знизу/ в точці [EQ], якщо для кожної відкритої в [EQ] множини [EQ], такої, що [EQ] /[EQ]/ існує такий окіл [EQ] точки [EQ] в [EQ], що [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ]. Кажуть, що [EQ] є квазінеперервним зверху /знизу/ в точці [EQ], якщо для кожної відкритої в [EQ] множини [EQ], такої, що [EQ] /[EQ]/ i для кожного околу [EQ] точки [EQ] в [EQ] існує відкрита непорожня множина [EQ] в [EQ], така, що [EQ] і [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ]. Відображення [EQ] назвемо [EQ]-неперервним / [EQ]-неперервним/ в точці [EQ], якщо для кожного [EQ] існує окіл [EQ] точки [EQ] в [EQ], такий, що [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ] з [EQ].В підрозділі 3.2 ми вивчаємо множину [EQ] для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ] у пряму Зорґенфрея. Відображення [EQ] називається локально сталим, якщо для кожної точки [EQ] існує такий її окіл [EQ] в [EQ], що звуження [EQ] стале. Нехай [EQ] - локально звязний топологічний простір, [EQ] i [EQ] - неперервне знизу відображення, для якого [EQ] для кожного [EQ]. В загальному, для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ] визначених на локально звязних просторах виконується підсилений варіант теореми Дебса. Спочатку ми наводимо приклад неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ], зясувавши тим самим, що результат Кендерова не переноситься на відображення зі значеннями в [EQ].
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Дисертація присвячена дослідженню звязків між різними типами неперервності многозначних відображень: неперервностю зверху і знизу та - і -неперервністю; нарізною і сукупною неперервністю; тощо.
Для обґрунтування результатів дисертації використовуються методи загальної теорії функцій, зокрема, категорний метод.
В дисертації отримано такі результати: - досліджені звязки між неперервністю зверху і -неперервністю та неперервністю знизу і -неперервністю, зокрема, побудовані приклади замкненозначних відображень, які -неперервні, але не -неперервні в жодній точці і -неперервні, але не -неперервні в жодній точці;
- показано, що кожне квазінеперервне зверху відображення [EQ] топологічного простору [EQ] у сепарабельний метризовний простір [EQ] буде неперервним знизу у всіх точках деякої залишкової в [EQ] множини;
- розроблено новий підхід до доведення теореми Дебса про неперервність зверху неперервного знизу многозначного відображення і ця теорема перенесена на відображення зі значеннями у супер-[EQ] -метризовному просторі;
- показано, що -значні неперервні знизу відображення [EQ] звязного топологічного простору у пряму Зорґенфрея [EQ] є сталими, і що для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ], заданих на локально звязному просторі [EQ], множина [EQ] їх точок локальної сталості відкрита і залишкова в [EQ];
- наведено приклад компактнозначного неперервного знизу відображення , яке не є неперервним зверху в жодній точці [EQ] з [EQ];
- наведено приклади неперервного зверху відображення , яке не є неперервним знизу у жодній точці [EQ] і неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ] для кожного [EQ] і [EQ];
- доведено, що у кожної функції [EQ], заданої на берівському просторі [EQ], що задовольняє другу аксіому зліченності, у якої кожна точка [EQ] є точкою локального мінімуму, множина [EQ] є відкрита і всюди щільна в [EQ];
- встановлено, що для довільного берівського простору [EQ] з другою аксіомою зліченності і неперервного зверху [EQ]-значного відображення [EQ] множина [EQ] відкрита і всюди щільна в [EQ];
- показано, що для спадково паракомпактного берівського простору [EQ] і неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ] для кожного [EQ] множина [EQ] залишкова в [EQ];
- введено поняття [EQ]-звязного простору [EQ] і доведено, що кожне неперервне зверху [EQ]-значне відображення [EQ] [EQ]-звязного простору [EQ] у топологічний [EQ]-простір [EQ], кожна компактна множина якого є не більш ніж зліченною, є сталим; зокрема, показано, що це справджується, коли [EQ];
- доведено таке узагальнення одного результату Дебса: якщо [EQ], [EQ] i [EQ] - топологічні простори, причому [EQ] компактний i задовольняє другу аксіому зліченності, а [EQ] регулярний i супер-[EQ] -метризовний, [EQ] - компактнозначне відображення, яке неперервне знизу відносно першої змінної i неперервне зверху відносно другої змінної, то існує залишкова множина [EQ] в [EQ] така, що [EQ] неперервне зверху в кожній точці [EQ];
- наведені приклади компактнозначних відображень [EQ] при [EQ], таких, що [EQ] - нарізно неперервне зверху, але не є неперервним зверху за сукупністю змінних у жодній точці квадрата [EQ], а [EQ] - нарізно неперервне знизу, але не є неперервним знизу за сукупністю змінних у жодній точці з [EQ];
- показано, що для довільних топологічного простору [EQ], топологічного простору [EQ] з першою аксіомою зліченності, метризовного локально компактного [EQ] -компактного простору [EQ] і замкненозначного нарізно неперервного відображення [EQ] множина [EQ], де - множина точок сукупної неперервності відображення [EQ], є залишковою в [EQ] для кожного [EQ];
- доведено, що для звязного топологічного простору [EQ] і скінченно-компактного метричного простору [EQ] у кожного компактнозначного відображення [EQ], яке є поточковою [EQ]-границею послідовності [EQ]-неперервних замкненозначних відображень [EQ], множина [EQ] є залишкова в [EQ];
- наведено приклади скрізь розривних замкненозначних відображень [EQ] і послідовностей неперервних замкненозначних відображень [EQ], які поточково збігаються до [EQ] у метриці Гаусдорфа чи топології Віторіса.
Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані в загальній теорії функцій та топології.
Список литературы
1. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Навколо теореми Дебса про многозначні відображення // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 191 - 192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 61 - 66.
2. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні знизу відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Мат. студії. - 2005. - Т.24, №2. - С. 203 - 206.
3. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні зверху відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 68 - 72.
5. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В., Фотій О.Г. Простір -точкових множин і -значні відображення // Доповіді НАН України. - 2006, №10. - С. 24 - 27.
6. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Сталість неперервних зверху двозначних відображень у пряму Зорґенфрея // Укр. мат. журн. - 2007, т. 59, №8. - С. 1034 - 1039.
7. Фотій О.Г. Звязки між неперервністю зверху і знизу, -неперервністю і -неперервністю // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 336-337. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 189 - 196.
8. Кожукар О.Г. Про нарізно неперервні многозначні відображення //International Conference on Functional Analysis and its Applications, dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts (May 28-31, 2002). - Lviv, 2002. - P. 148.
9. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Навколо теорем Дебса і Кендерова // Міжнародна наукова конференція ”Шості боголюбівські читання” (26 - 30 серпня 2003 р.) Тези доповідей. - Київ, 2003. - С. 101.
10. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Компактнозначні відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004 р.) Тези доповідей. - Чернівці: Рута. - 2004. - С. 43 - 44.
11. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні зверху відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Міжнародна конференція ”Аналіз і суміжні питання” (17 - 20 листопада) Тези доповідей. - Львів, 2005. - С. 67 - 68.
12. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В., Фотій О.Г. Простір -точкових множин і -значні відображення // Міжнародна наукова конференція ”Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування” (18 - 23 вересня) Тези доповідей. - Ужгород, 2006. - С. 69 - 70.
13. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервність знизу квазінеперервних зверху многозначних відображень // Міжнародна конференція ”Диференціальні рівняння та їх застосування” (11 - 14 жовтня) Тези доповідей. - Чернівці, 2006. - С. 101.
14. Fotiy O. Connections between different types of continuity of multivalued mappings // International Conference Bogolubov readings 2007, dedicated to Yu.Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday Book of abstracts (19 august-2 september, 2007). - Zhitomir-Kiev, 2007. - P. 101.