Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення. Символіка Вієта і Декарта і розвиток алгебри в Греції, Індії та в Європі. Позначення похідної та інтеграла у Лейбніца і розвиток аналізу. Мова канторів і основи математичної логіки.
Аннотация к работе
Карно, що в математиці «символи не є тільки записом думки, засобом її зображення і закріплення, - ні, вони впливають на саму думку, вони, до певної міри, направляють її, і буває досить перемістити їх на папері, згідно з відомим дуже простим правилом, для того, щоб безпомилково досягти нових істин».У чому укладено обєктивний зміст математичної символіки? Це сприяє більш глибокому усвідомленню їх змісту, полегшує його запамятовування .Математичні знаки використовуються в математиці ефективно і без помилок, коли вони висловлюють точно певні поняття, що відносяться до обєктів вивчення математичних теорій. Математики не завжди можуть сказати відразу, що відображає той чи інший символ, введений ними для розвитку будь-якої математичної теорії, засобами якої можна вирішувати практично важливі завдання. Мова математичних знаків тільки допоміжний засіб, присоединяемое до звичайного мови і використовується в математиці і в областях, де застосовуються її методи.Можливість використання мови знаків в математиці обумовлена особливостями предмета її досліджень - тим, що вона вивчає форми і відносини обєктів реального світу, у відомих межах байдужі до їх матеріальним змістом. Якщо вихідні затвердження записані в символічній формі, то доказ зводиться до їх «механічним » видозмінам .Доцільність, а в наш час і необхідність - використання мови знаків в математиці обумовлена тим, що за його допомогою можна не тільки коротко і ясно записувати поняття і пропозиції математичних теорій, а й розвивати в них обчислення і алгоритми - найголовніше для розробки методів математики і її додатків.Вважається, що елліни запозичили перші відомості з геометрії у єгиптян, з алгебри - у вавилонян .У найдавніших єгипетських джерелах папірусі Райнда та Московському папірусі - знаходимо завдання на «аха » (термін «аха » означає «купа» Мається на увазі деяку кількість, невідома величина, що підлягає визначенню ) відповідні сучасним лінійним рівнянням, а також квадратним виду ах2 = b.. Але якщо вавилоняни за два тисячоліття до нашої ери вміли числовим шляхом вирішувати завдання, повязані з рівняннями першого та другого ступенів, то розвиток алгебри в працях Евкліда (365 - бл. На заданому відрізку АВ (рівному a ) будували прямокутник AM зі сторонами (а х ) і x, рівновеликий даному квадрату (b2), таким чином, щоб надлишкова над прямокутником AL (рівна ах ) площа ВМ була квадратом, за площею рівним х2. Така побудова називали гіперболічним додатком площі.Далі, вважаючи задачу розвязаною, ділили АВ навпіл точкою С, на відрізку LM будували прямокутник MG, рівний прямокутнику ЄС. Якщо відрізок (ab ) розділений в точці (g ) на два відрізки, то квадрат, побудований на (a b ), дорівнює двом квадратах на відрізках (a g, g b ) разом з подвоєним прямокутником на (a g, g b ) .Природно, повязуючи число з геометричним чином (лінією, поверхнею, тілом), стародавні оперували тільки однорідними величинами ; так, рівність було можливо для величин однакового виміру .Така побудова математики дозволило античним вченим досягти істотних результатів в обгрунтуванні теорем і правил алгебри, але надалі воно стало сковувати розвиток науки.Наведені приклади можуть створити відчуття, що математика стародавніх греків примітивна.Діофант відродив і розвинув числову алгебру вавилонян, звільнивши її від геометричних побудов, якими користувалися греки.У Діофанта вперше зявляється буквена символіка. Діофант сформулював правила алгебраїчних операцій зі ступенями невідомою, відповідні нашим множенню і діленню ступенів з натуральними показниками (для m n 6 ), і правила знаків при множенні. І хоча Діофант вважає число зборами (а це означає, що розглядаються тільки натуральні числа), при вирішенні невизначених рівнянь він не обмежується натуральними числами, а відшукує і позитивні раціональні рішення .Невизначеними рівняннями до Діофанта займалися математики школи Піфагора у звязку з пифагоровой теоремою. Діофант поставив завдання встановити разрешимость (в раціональних числах ) і в разі можливості розвязання знайти раціональні рішення рівняння F (х, у) = 0, де ліва частина - многочлен з цілими або раціональними коефіцієнтами. Він досліджував невизначені рівняння другого, третього і четвертого ступенів і системи невизначених рівнянь .У другій книзі «Арифметики » він так досліджує, наприклад, рівняння другого порядку F (х, у) = 0 .Це рівняння задає конічний перетин.Починаючи з V ст. центр математичної культури перемістився на схід - до індусів і арабів. Індуси не були стурбовані строгістю еллінів в доказах і обгрунтуванні геометрії. Передбачається, що завдяки числовим викладкам і практичного емпіризму індусам вдалося осягнути теореми і методи греків, теоретичного обгрунтування яких вони, можливо, по-справжньому не розуміли.Основні досягнення індусів полягають у тому, що вони ввели в обіг цифри, звані нами арабськими, і позиційну систему запису чисел, виявили подвійність коренів квадратного рівняння, двозначність квадратного кореня і ввели відємні числа.Індуси розглядали числа безвідносно до
План
Зміст
Вступ
1. Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення
2. Символіка Вієта і Декарта і розвиток алгебри
2.1 Розвиток алгебри до Ф. Вієта
2.1.1 Алгебра греків
2.1.2 Алгебра Діофанта
2.1.3 Алгебра індусів
2.1.4 Алгебра арабів
2.1.5 Розвиток алгебри в Європі
2.2 Символіка Вієта і розвиток алгебри
2.3 Символіка Декарта і розвиток алгебри
3. Позначення похідної та інтеграла у Лейбніца і розвиток аналізу
4. Мова канторів і основи математичної логіки
4.1 Висловлювання та булеві функції
4.2 Предикати і квантори
5. Методичні рекомендації до теми «Введення нуля і розвиток позиційної десяткової системи числення»