Дослідження диференціальних та диференціально-граничних операторів з некласичними крайовими умовами та їх абстрактних моделей. Критерії максимальної дисипативності та максимальної акретивності досліджуваних класів диференціально-граничних операторів.
Аннотация к работе
Як правило, розглядаються оператори, кожен з яких породжується диференціальним виразом на деякому проміжку і крайовими умовами, класичними в тому сенсі, що відповідні крайові форми є лінійними комбінаціями значень функції з області визначення даного оператора та її похідних (до відповідного порядку) на кінцях розглядуваного проміжку. Зазначимо, що такі оператори природним чином виникають при розгляді задачі про самоспряжені та дисипативні розширення нещільно визначених ермітових операторів та задачі про акретивні розширення додатно визначеного диференціального оператора. Сторожа, де побудовано теорію одного класу збурень лінійних операторів у гільбертовому просторі, які змінюють не тільки закон дії оператора, а й його область визначення. Тому актуальною, на нашу думку, є задача про поширення результатів робіт, про які йшла мова у попередньому абзаці, на ширші класи операторів, зокрема на оператори, зазначені у заголовку дисертації. У роботі використовуються методи теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі (перш за все - методи теорії розширень та теорії збурень таких операторів), а також деякі методи теорії диференціальних рівнянь.Трійка (, , де - гільбертів простір, лінійні відображення , називається простором граничних значень (ПГЗ) оператора , якщо і H H.. Крім цього, якщо (де гільбертів простір) - лінійний оператор такий, що , то оператор визначаємо виходячи з умови Тут дано опис самоспряжених розширень оператора , а у випадку, коли (, - жорсткий ПГЗ оператора , побудовано жорстке (фрідріхсівське) та мяке (крейнівське) розширення оператора . б) оператори мають нульову межу, оператори нульову межу. У підрозділі 3.2 встановлено критерій взаємної спряженості збурених операторів, тобто оператора , визначеного за допомогою співвідношень (4) - (5) та оператора такого вигляду: , де () - деяка крайова пара для .У дисертаційній роботі вивчаються певні класи збурень замкнених лінійних операторів у гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення.
У дисертаційній роботі вивчаються певні класи збурень замкнених лінійних операторів у гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення. Отримано такі нові результати: - встановлено умови, які гарантують щільну визначеність та замкненість досліджуваного збуреного оператора;
- встановлено критерій взаємної спряженості розглядуваних операторів;
- побудовано резольвенту збуреного оператора;
- при деяких додаткових припущеннях доведено критерії максимальної акретивності досліджуваних операторів. Зокрема, встановлено канонічний вигляд максимально дисипативного збурення самоспряженого розширення додатно визначеного оператора;
- отримані абстрактні результати застосовано для дослідження диференціально-граничних операторів типу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом та некласичними (перш за все, інтегрально-багатоточковими) крайовими умовами. Зокрема, встановлено критерії максимальної невідємності, максимальної акретивності та коректної оборотності для одного класу збурень оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля.
Список литературы
1. Мильо О.Я. Про функцію Вейля та екстремальні розширення напівгладкого звуження додатно визначеного оператора / О.Я. Мильо, Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2003. - 46, № 4. - С. 73 - 80.
2. Піпа Г.М. Напівгладкі звуження додатно визначеного оператора та їхні власні розширення / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2004. - 47, № 2. - С. 84 - 89.
3. Піпа Г.М. Про один клас збурень власних розширень додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. - 2004. - № 8. - С. 29 - 33.
4. Піпа Г.М. Про резольвенту збурення, яке змінює область визначення власного розширення додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2005. - 48, № 1. - С. 15 - 20.
5. Pipa H.M. On some perturbations changing the domain of proper extension of positively definite operator / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Methods Funct. Anal. Topology. - 2005. - 11, № 3. - P. 257 - 269.
6. Піпа Г.М. Умови максимальної дисипативності для одного класу замкнених операторів у гільбертовому просторі / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 190 - 200.
8. Піпа Г.М. Про диференціально-граничний оператор типу Штурма-Ліувілля з багатоточково-інтегральними крайовими умовами у просторі нескінченновимірних вектор-функцій / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Доп. НАН України. - 2006. - № 10. - С. 34 - 39.
9. Піпа Г.М. Про один клас збурень оператора Штурма-Ліувілля з обмеженим додатним операторним потенціалом / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Мат. методи та фіз.-мех. поля - 2007. - 50, № 4. - С. 38 - 49.
10. Pipa H.M. The criteria of maximal dissipativity and self-adjointness for a class of differential-boundary operators with bounded operator coefficients / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Methods Funct. Anal. Topology. - 2008. - 14, № 4. - P. 372 - 379.
11. Піпа Г.М. Невідємні та акретивні збурення оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом / Г.М. Піпа // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2008. - Вип. 68. - С. 207 - 214.
12. Pipa H.M. On a class of densely defined restrictions of closed positively defined operators in Hilbert space / H.M. Pipa, O.G. Storozh // International Conference Dedicated to Stefan Banach "Functional Analysis and its Applications" (May 28 - 31, 2002, Lviv, Ukraine). - Abstracts, Lviv, 2002. - P. 157.
13. Mylyo O. Ya. On Weyl function of semi-smooth restriction of positively defined operator /O. Ya. Mylyo, H.M. Pipa, O.G. Storozh // Міжнародна школа-семінар "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування", присвячена 75-річчю з дня народження проф. В.Я. Скоробогатька (19 - 24 серпня 2002, Ужгород, Україна). - Тези доповідей, Ужгород, 2002. - С. 24-25.
14. Піпа Г.М. Про резольвенту збурення напівгладкого звуження додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа // ІІІ Всеукраїнська наукова конференція "Нелінійні проблеми аналізу" (9 - 12 вересня 2003, Івано-Франківськ, Україна). - Тези доповідей, Івано-Франківськ, 2003. - С. 89.
15. Піпа Г.М. Про умови взаємної спряженості деяких замкнених операторів / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // 10-та Міжнародна наукова конференція імені академіка М.П. Кравчука. (13 - 15 травня 2004, Київ, Україна). - Матеріали конференції, Київ, 2004. - С. 482.
16. Pipa H.M. On canonic form for one maximal dissipative perturbation of a proper extension of positively definite operator / H.M. Pipa, O.G. Storozh // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання" (17 - 20 листопада 2005, Львів, Україна). - Тези доповідей, Львів,2005. - С. 80.
17. Піпа Г.М. Про один клас диференціально-граничних операторів другого порядку з некласичними крайовими умовами та обмеженими операторними коефіцієнтами / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // 11-та Міжнародна наукова конференція імені академіка М.П. Кравчука. (18 - 20 травня 2006, Київ, Україна). - Матеріали конференції, Київ, 2006. - С. 548
18. Pipa H.M. The criterion of dissipativity for a class of differential-boundary operators with bounded operator coefficients / H.M. Pipa, O.G. Storozh // International Conference on Modern Analysis and Applications Dedicated to Mark Krein (April 9 - 14, 2007, Odessa, Ukraine). - Abstracts, Odessa, 2007. - P. 112.
19. Піпа Г.М. Умови невідємності та акретивності для деяких збурень майже розвязних розширень додатно визначеного оператора / Г.М. Піпа, О.Г. Сторож // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007, Дрогобич, Україна). - Тези доповідей, Львів, 2007. - С. 225.
20. Піпа Г.М. Про деякі класи збурень оператора третьої крайової задачі для диференціального виразу Штурма-Ліувілля з обмеженим операторним потенціалом / Г.М. Піпа // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007, Дрогобич, Україна). - Тези доповідей, Львів, 2007. - С. 226.