Простори інтегрованих з вагою функцій. Отримання точних за порядком оцінок узагальнених констант Лебега сум Фур’є-Якобі. Теорема про наближення функцій алгебраїчними поліномами та знаходження порядків наближення функцій певних класів сумами Фур’є-Якобі.
Аннотация к работе
Питання, повязані із наближенням функцій рядами, і зокрема рядами Фурє по ортогональних поліномах, займають одне з центральних місць у теорії наближень і відіграють важливу роль в інших галузях математики. З нерівності Лебега випливає, що для кожної функції у такому просторі часткові суми відповідного їй ряду Фурє-Якобі збігаються до неї, здійснюючи її наближення за порядком не гірше найкращого. Однак ці ж результати вказують на існування таких значень , при яких в просторі константи Лебега необмежені, ряд Фурє-Лежандра не для кожної функції збігається, і оцінка відхилень сум Фурє-Лежандра, яку дає нерівність Лебега, не є найкращою за порядком. З огляду на сказане вище, можна вважати актуальним одержання оцінок узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі та доведення аналогів теореми Джексона про наближення алгебраїчними поліномами у просторах інтегровних з вагою функцій, призначених, зокрема, для вивчення питань збіжності рядів Фурє-Якобі в цих просторах, чому відповідає тема дисертації. Метою роботи є одержання точних за порядком оцінок узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі у просторах та теорем про наближення алгебраїчними поліномами в , і на цій основі - отримання умов збіжності рядів Фурє-Якобі в у випадках, коли константи Лебега необмежені.У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено обєкт та предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні дослідження, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх практичне значення, подано інформацію про апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи. Перший розділ дисертації присвячено постановкам основних задач дослідження та короткому огляду відомих результатів їх вирішення. Послідовність алгебраїчних поліномів , ортогональних на з вагою і нормованих умовою , має назву системи поліномів Якобі. Кожній функції відповідає формальний розклад її у ряд Фурє-Якобі: Часткові суми цього ряду Перший підрозділ містить допоміжні твердження і відомі властивості обєктів дослідження, а у другому доводиться основний результат.В дисертаційній роботі досліджуються задачі про порядкові оцінки узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі у просторах , про наближення функцій алгебраїчними поліномами в метриці з додатковою вагою та про порядки відхилення часткових сум рядів Фурє-Якобі у даних просторах в ситуації, коли звичайні константи Лебега є необмеженими. Знайдено точні за порядком оцінки узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі в просторах для певних випадків, у яких звичайні константи Лебега є необмеженими.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
В дисертаційній роботі досліджуються задачі про порядкові оцінки узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі у просторах , про наближення функцій алгебраїчними поліномами в метриці з додатковою вагою та про порядки відхилення часткових сум рядів Фурє-Якобі у даних просторах в ситуації, коли звичайні константи Лебега є необмеженими.
1. Знайдено точні за порядком оцінки узагальнених констант Лебега сум Фурє-Якобі в просторах для певних випадків, у яких звичайні константи Лебега є необмеженими.
2. Отримано варіант посилення теореми Джексона про наближення функцій алгебраїчними поліномами на відрізку у просторах з додатковою вагою для класів функцій, -та похідна яких задовольняє умову типу умови Ліпшица в метриці . Вказані класи являють собою узагальнення класів у просторах .
3. У певних випадках одержано порядкові оцінки зверху відхилення функцій класів та деяких класів функцій із заданим порядком найкращого наближення від часткових сум відповідних їм рядів Фурє-Якобі у просторах , які свідчать, що у даних випадках суми Фурє-Якобі здійснюють наближення функцій цих класів за порядком не гірше найкращого, навіть якщо константи Лебега є необмеженими.
Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові професору Віталію Павловичу Моторному за увагу та інтерес до даної роботи, координацію і верифікацію процесу отримання її основних результатів.