Застосування варіаційного принципу Швінгера до квантування систем у викривленому просторі - Автореферат

Аналіз структури квантової теорії на неевклідовому многовиді відноситься до класу фундаментальних задач з давньою історією, початок якої можна віднести до часу написання першої роботи, присвяченої квантуванню гравітаційного поля. Спроби побудови квантової теорії у неевклідовому просторі за допомогою такого методу не приводить до однозначного результату не дивлячись на те, що принцип відповідності лишається в силі. Одним із альтернативних (по відношенню до канонічного) підходів до задачі квантування є варіаційна процедура Швінгера, яка в певній мірі визначає використання принципу найменшої дії Гамільтона для квантової теорії. Окрема задача полягала у застосуванні розробленої схеми квантування за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу для квантування польової моделі Волкова-Акулова та дослідженні частинкоподібних розвязків рівнянь руху для вакуумної конфігурації фермі-поля. За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу будується квантова теорія вільної частинки на многовиді більш складної геометричної структури - однорідному та загальному ріманових просторах;У вступі обгрунтована актуальність обраної теми, сформульована мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів.В підрозділі 1.1. розглядаються основні принципи, на яких базується квантова механіка та вводяться позначення, необхідні для формулювання варіаційного принципу, яке дається в підрозділі 1.2. Генератор перетворень G(t) можна знайти без явного задання комутаційних співвідношень, аналізуючи симетрії оператора Лагранжа (особливістю допустимих варіацій є те, що варіація кінематичної частини оператора L дорівнює повній похідній по часу від деякої функції, DLKIN=-DK/dt). Генератор має вигляд, а рівняння руху у формі Ейлера-Лагранжа зосереджені у останньому доданку виразу і можуть буті знайдені після визначення комутаційних співвідношень. Вважається, що оператори координат x? утворюють повний набір комутуючих спостережуваних, а комутатори швидкостей з координатами є функціями тільки координат. Для квантової механіки на G безпосередній геометричний зміст мають пари операторів xa та pa, які задають квантову механіку на орбіті, і xi та pi, які відповідають квантовій механіці на G/H.Виконане узагальнення схеми, сформульованої Швінгером для лінійної теорії, на випадок нелінійних моделей, які описують фізичну систему у просторі з груповою структурою (рімановому просторі). Показано, що при побудові квантової механіки точкової частинки за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу важливу роль грають ізометрії конфігураційного простору, які є розвязками рівняння Кіллінга. Результати процедури квантування суттєво залежать від співвідношення між розмірністю групи ізометрій простору (незалежних розвязків рівняння Кіллінга) та розмірністю простору. За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу побудований оператор Лагранжа вільної точкової частинки у рімановому просторі, в якому виникає доданок типу потенціальної енергії суттєво квантового походження. За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу показано, що у випадку загального ріманового многовиду (коли розмірність групи ізометрій менша за розмірність простору) квантова механіка є недовизначеною теорією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основні результати, отримані у даній дисертаційній роботі можуть бути сформульовані наступним чином.

Виконане узагальнення схеми, сформульованої Швінгером для лінійної теорії, на випадок нелінійних моделей, які описують фізичну систему у просторі з груповою структурою (рімановому просторі). Розвинутий послідовний метод квантування квантово-механічної теорії, означеної в неевклідовому просторі.

Показано, що при побудові квантової механіки точкової частинки за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу важливу роль грають ізометрії конфігураційного простору, які є розвязками рівняння Кіллінга. Результати процедури квантування суттєво залежать від співвідношення між розмірністю групи ізометрій простору (незалежних розвязків рівняння Кіллінга) та розмірністю простору.

За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу побудований оператор Лагранжа вільної точкової частинки у рімановому просторі, в якому виникає доданок типу потенціальної енергії суттєво квантового походження.

У випадку загального ріманового многовиду у квантовій теорії існує калібрувальна структура, яка відповідає стандартній теорії Калуци-Клейна. Для узагальненого простору станів квантово-механічна теорія будується неоднозначно - одній класичній теорії відповідає багато нееквівалентних квантових теорій, які нумеруються власними значеннями оператора Казиміра представлення групи ізотропії.

За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу показано, що у випадку загального ріманового многовиду (коли розмірність групи ізометрій менша за розмірність простору) квантова механіка є недовизначеною теорією. Цей факт проявляється в тому, що частину комутаційних співвідношень між операторами теорії не можна визначити однозначно, що є причиною зявлення невизначених функцій координат в операторі Лагранжа. Використання процедури квантування на основі узагальненого квантового варіаційного принципу виявляє проблему (яку не відчувають інші методи квантування), але не розвязує її. Така неоднозначність не є проблемою методу, для її усунення необхідна зовнішня інформація (можливо, експериментальна).

Побудована квантово-механічна теорія для точкової частинки у суперпросторі, індукованому N=1 суперсиметрією (“суперчастинка”) за допомогою квантового варіаційного принципу. Показано, що наявність змінних, які описуються фермі-статистикою приводить до некомутативності операторів координат x?. По цій причині у координатному представленні оператори координат x? реалізуються інтегральними операторами. Показано також, що простий звязок між представленнями операторів координати та імпульсу (через оператор диференціювання) - відсутній.

У нелінійній квантовій теорії поля, побудованій на основі моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії, показане існування частинкоподібних конфігурацій суттєво квантового походження, що індукують метрику ріманового многовиду, який на периферії зводиться до простору Мінковського. У теорії поля, заданій на такому просторі, зникають розбіжності інтегралів руху. Зокрема, у випадку електростатичного поля потенціал є скінченим у початку координат і має звичайну кулонівську поведінку на великих відстанях. Таку несингулярну частинкоподібну конфігурацію із зарядом e, спіном ћ/2 і розміром порядку планківської довжини можна розглядати як модель елементарного заряду. Проведений аналіз ілюструє також відоме твердження про те, що ефекти суперсиметрії, які на даний час не спостережувались безпосередньо, можуть бути суттєвими на надмалих просторових масштабах порядку планківських (де експерименти поки не проводяться).

1. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum fermi solitons caused by supersymmetry // Український Фізичний Журнал. - 1999 - т. 44 - С.15-24.

2. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwingers Quantization Approach, I // European Physics Journal. - 2001 - v.C21 - p. 269-381.

3. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwingers Quantization Approach, II // European Physics Journal. - 2001 - v.C21, - p. 587-595.

4. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwingers Quantization Approach, III // European Physics Journal. - 2001 - v.C21, - p. 757-767.

5. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwingers Quantization Approach, IV // European Physics Journal. - 2001 - v.C22 - p. 601-611.

6. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum supersymmetric fermi-solitons // Proceedings of the International Conference “Non-Euclidean Geometry in modern physics” hailed in Uzhhorod, Kiev-1997 - p.136-148.