Поняття похідної, її механічний і геометричний зміст. Застосування похідної для доведення нерівностей. Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей. Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні.
Аннотация к работе
Елементи математичного аналізу приймає значне місце в шкільному курсі математики. Учні опановують математичним апаратом, що може бути ефективно використаний при рішенні багатьох задач математики, фізики, техніки. У курсі математики за допомогою диференціального числення досліджуються властивості функцій, будуються їхні графіки, вирішуються задачі на найбільше й найменше значення, обчислюються площі й обєми геометричних фігур. Іншими словами, введення нового математичного апарата дозволяє розглянути ряд задач, вирішити які не можна елементарними методами. Багато традиційних елементарних задач (Доведення нерівностей, тотожностей, дослідження й рішення рівнянь і інші) ефективно вирішуються за допомогою понять похідній.Функція буде неперервною в точці тоді і тільки тоді, коли малій зміні аргументу в точці відповідають малі зміни значень функції, тобто функція неперервна в точці при . Похідною функції у точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Таким чином, функція буде неперервною в точці тоді і тільки тоді, коли при , тобто малій зміні аргументу в точці відповідають малі зміни значень функції. Коротко означення похідної функції можна записати так: Враховуючи означення приросту функції у точці , що відповідає приросту , означення похідної можна записати також так: Функцію що має похідну в точці , називають диференційованою в цій точці. Значення похідної в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної (кут відраховується від додатного напрямку осі проти годинникової стрілки.) кутовий коефіцієнт дотичної (рис.1.5) рівняння дотичної до графіка функції;За допомогою похідної можна знайти інтервали монотонності функції, її екстремальні точки, найбільші й найменші значення [2]. Якщо функція має додатну (відємну) похідну в кожній точці деякого інтервалу, то вона зростає (спадає) на цьому проміжку. При знаходженні проміжків монотонності потрібно мати на увазі, що якщо функція зростає (спадає) на інтервалі й неперервна в точках і , то вона зростає (спадає) на проміжку . Якщо точка є точкою екстремума для функції f і в цій точці існує похідна, то .Нехай функція задовільняє наступним умовам: 1) функція неперервна на проміжку 3) тоді існує точка . По теоремі Вейерштраса числа які існують і існують точки й : . Нехай для визначеності , тоді точка буде точкою локального й у силу умови 2 теореми Ферма: . Теорема Ферма: Нехай функція диференційована в точці й має локальний екстремум.Якщо функція неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка, то усередині проміжка найдеться точка така, що справедливо формулу [1]: Доведення Функція буде неперервна на й вона буде диференційована на інтервалі . Обчислимо значення функції в точці : Обчислимо значення функції в точці : Одержуємо, що , тобто функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, тоді існує : , Теорема доведена. Геометричний зміст теореми Лагранжа: при виконанні умов теореми на інтервалі існує точка , у якій дотична до графіка функції в точці паралельна січній. По теоремі Лагранжа в застосуванні до проміжка існує точка : Але , тобто звідси треба , але тому що - дві довільні точки, то одержуємо необхідні доведення.Якщо кожна із двох функцій і неперервна на проміжку й диференційована у всіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, крім того похідна відмінна від нуля всюди усередині проміжка , то усередині цього проміжка найдеться точка така, що справедлива формула [1]: Доведення Справді, якщо припустити, що , то в силу теореми Ролля існує точка що суперечить умові.Для цього нерівність потрібно привести до виду де - неперервна в кожній точці своєї області визначення функція (неперервна функція, оскільки це многочлен). Для знаходження нулів функції потрібно розвязати рівняння , яке не вдається розвязати за допомогою рівносильних перетворень, тому для його розвязування доцільно використати властивості функції , зокрема, її монотонність, яку можна обгрунтувати за допомогою похідної. При знаходженні нулів функції для розвязування рівняння доцільно використати властивості відповідних функцій, зокрема, оцінку лівої і правої частин рівняння виду Значення функції легко оцінити і без застосування похідної, а для дослідження функції використаємо похідну. Як бачимо, функція не набуває додатних значень і в нерівності (1) знак „більше" не може виконуватися. Її похідна при Отже, функція спадає на проміжку а враховуючи неперервність функції у точці 0 (вона неперервна і на всій області визначення), одержуємо, що функція спадає на інтервалу .3.1 Декілька типів рівнянь, для розвязування яких застосовуються похідні Серед них рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має розвязок те чи інше рівняння. Ці рівняння зводяться до знаходження екстремальних значень функції або до знаходження їх областей значень. При якому значенні має розвязки рівняння Так як функція f неперервна, то її область значень є пром
План
Зміст
The summary
Вступ
Розділ 1. Поняття похідної. її механічний і геометричний зміст
1.1 Поняття похідної
1.2 Геометричний зміст похідної
1.3 Механічний зміст похідної
Розділ 2. Застосування похідної для доведення нерівностей
2.1 Застосування похідної при доведенні нерівностей
2.2 Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей
2.2.1 Теорема Ролля
2.2.2 Теорема Лагранжа
2.2.3 Теорема Коші
2.3 Практичні приклади доведення нерівностей з застосуванням похідних
Розділ 3. Застосування похідної для розвязування рівнянь
3.1 Декілька типів рівнянь, для розвязування яких застосовуються похідні
3.2 Використання похідної для пошуку існування та значень коренів рівнянь